Cálculo Exemplos

$f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ , $[- 2, 1]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = - 3 x^{2} + 6 x - 5$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 3 x^{2} + 6 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.1.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 6 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 3.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 6 x + 6 + 0$

Etapa 3.1.4.2

Some $- 6 x + 6$ e $0$ .

$f' (x) = - 6 x + 6$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 6 x + 6$ .

$- 6 x + 6$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(- 2, 1)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(- 2, 1)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(- 2, 1)$ , porque a derivada é contínua em $(- 2, 1)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[- 2, 1]$ e diferenciável em $(- 2, 1)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[- 2, 1]$ e diferenciável em $(- 2, 1)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[- 2, 1]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - 3 \cdot 4 + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (- 2) = - 12 + 6 (- 2) - 5$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 12 - 12 - 5$

Etapa 7.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 7.2.2.1

Subtraia $12$ de $- 12$ .

$f (- 2) = - 24 - 5$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $5$ de $- 24$ .

$f (- 2) = - 29$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 29$ .

$- 29$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[- 2, 1]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - 3 {(1)}^{2} + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - 3 \cdot 1 + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = - 3 + 6 (1) - 5$

Etapa 8.2.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (1) = - 3 + 6 - 5$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.2.1

Some $- 3$ e $6$ .

$f (1) = 3 - 5$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $5$ de $3$ .

$f (1) = - 2$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 9

Resolva $- 6 x + 6 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $- 6 x + 6 = \frac{- (f (1) + f (- 2))}{- (1 - 2)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(- 2) - (- 29)}{(1) - (- 2)}$ .

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Etapa 9.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 29$ .

$- 6 x + 6 = \frac{- 2 + 29}{1 - (- 2)}$

Etapa 9.1.1.2

Some $- 2$ e $29$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 - (- 2)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{1 + 2}$

Etapa 9.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$- 6 x + 6 = \frac{27}{3}$

Etapa 9.1.3

Divida $27$ por $3$ .

$- 6 x + 6 = 9$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$- 6 x = 9 - 6$

Etapa 9.2.2

Subtraia $6$ de $9$ .

$- 6 x = 3$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $- 6 x = 3$ por $- 6$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $- 6 x = 3$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 6$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3}{- 6}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum de $3$ e $- 6$ .

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Etapa 9.3.3.1.1

Fatore $3$ de $3$ .

$x = \frac{3 (1)}{- 6}$

Etapa 9.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.3.3.1.2.1

Fatore $3$ de $- 6$ .

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

Etapa 9.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

Etapa 9.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{- 2}$

Etapa 9.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = - \frac{1}{2}$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = - 2$ e $b = 1$

Etapa 11

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