Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ , $[0, 6]$

Etapa 1

Se $f$ for contínua no intervalo $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$ , então pelo menos um número real $c$ existirá no intervalo $(a, b)$ , de modo que $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . O teorema do valor médio expressa a relação entre a inclinação da tangente à curva em $x = c$ e a inclinação da reta através dos pontos $(a, f (a))$ e $(b, f (b))$ .

Se $f (x)$ for contínuo em $[a, b]$

e se $f (x)$ for diferenciável em $(a, b)$ ,

então, existe ao menos um ponto, $c$ em $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Etapa 2

Verifique se $f (x) = x^{2} + 2 x - 3$ é contínua.

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Etapa 2.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 2.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ .

A função é contínua.

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 3.1.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 2 x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 + 0$

Etapa 3.1.3.2

Some $2 x + 2$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Etapa 3.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Etapa 4

Determine se a derivada é contínua em $(0, 6)$ .

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Etapa 4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 4.2

$f' (x)$ é contínuo em $(0, 6)$ .

A função é contínua.

Etapa 5

A função é diferenciável em $(0, 6)$ , porque a derivada é contínua em $(0, 6)$ .

A função é diferenciável.

Etapa 6

$f (x)$ satisfaz as duas condições do teorema do valor médio. É contínuo em $[0, 6]$ e diferenciável em $(0, 6)$ .

$f (x)$ é contínuo em $[0, 6]$ e diferenciável em $(0, 6)$ .

Etapa 7

Avalie $f (a)$ a partir do intervalo $[0, 6]$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} + 2 (0) - 3$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 + 2 (0) - 3$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 3$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 3$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $3$ de $0$ .

$f (0) = - 3$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $- 3$ .

$- 3$

Etapa 8

Avalie $f (b)$ a partir do intervalo $[0, 6]$ .

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Etapa 8.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = {(6)}^{2} + 2 (6) - 3$

Etapa 8.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = 36 + 2 (6) - 3$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f (6) = 36 + 12 - 3$

Etapa 8.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.2.1

Some $36$ e $12$ .

$f (6) = 48 - 3$

Etapa 8.2.2.2

Subtraia $3$ de $48$ .

$f (6) = 45$

Etapa 8.2.3

A resposta final é $45$ .

$45$

Etapa 9

Resolva $2 x + 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ para $x$ . $2 x + 2 = \frac{- (f (6) + f (0))}{- (6 + 0)}$ .

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Etapa 9.1

Simplifique $\frac{(45) - (- 3)}{(6) - (0)}$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $(45) - (- 3)$ e $(6) - (0)$ .

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Etapa 9.1.1.1

Reescreva $6$ como $- 1 (- 6)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6) - (0)}$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 6) - (0)$ .

$2 x + 2 = \frac{(45) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Etapa 9.1.1.3

Fatore $3$ de $45$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) - (- 3)}{- 1 (- 6 + 0)}$

Etapa 9.1.1.4

Fatore $3$ de $- (- 3)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15) + 3 (- (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Etapa 9.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (15) + 3 (- (- 1))$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{- 1 (- 6 + 0)}$

Etapa 9.1.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.1.6.1

Fatore $3$ de $- 1 (- 6 + 0)$ .

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Etapa 9.1.1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 x + 2 = \frac{3 (15 - (- 1))}{3 (- 1 (- 2 + 0))}$

Etapa 9.1.1.6.3

Reescreva a expressão.

$2 x + 2 = \frac{15 - (- 1)}{- 1 (- 2 + 0)}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 x + 2 = \frac{15 + 1}{- 1 (- 2 + 0)}$

Etapa 9.1.2.2

Some $15$ e $1$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 (- 2 + 0)}$

Etapa 9.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.1.3.1

Some $- 2$ e $0$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{- 1 \cdot - 2}$

Etapa 9.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 x + 2 = \frac{16}{2}$

Etapa 9.1.3.3

Divida $16$ por $2$ .

$2 x + 2 = 8$

Etapa 9.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 9.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$2 x = 8 - 2$

Etapa 9.2.2

Subtraia $2$ de $8$ .

$2 x = 6$

Etapa 9.3

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 9.3.1

Divida cada termo em $2 x = 6$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 9.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{6}{2}$

Etapa 9.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{6}{2}$

Etapa 9.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.3.3.1

Divida $6$ por $2$ .

$x = 3$

Etapa 10

Existe uma reta tangente em $x = 3$ paralela à reta que atravessa os pontos finais $a = 0$ e $b = 6$

Etapa 11

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