Cálculo Exemplos

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$- 5 x^{2} + 14 x + 3$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como

$- 5$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 5 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique

$2$ por

$- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como

$14$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$14 x$ em relação a

$x$ é

$14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique

$14$ por

$1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como

$3$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$3$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Etapa 1.4.2

Some

$- 10 x + 14$ e

$0$ .

$- 10 x + 14$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$- 10 x + 14$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 x) + \frac{d}{d x} (14)$

Etapa 2.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como

$- 10$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 10 x$ em relação a

$x$ é

$- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (14)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (14)$

Etapa 2.2.3

Multiplique

$- 10$ por

$1$ .

$f'' (x) = - 10 + \frac{d}{d x} (14)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como

$14$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$14$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$f'' (x) = - 10 + 0$

Etapa 2.3.2

Some

$- 10$ e

$0$ .

$f'' (x) = - 10$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a

$0$ e resolva.

$- 10 x + 14 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$- 5 x^{2} + 14 x + 3$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como

$- 5$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 5 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique

$2$ por

$- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [14 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como

$14$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$14 x$ em relação a

$x$ é

$14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$- 10 x + 14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique

$14$ por

$1$ .

$- 10 x + 14 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como

$3$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$3$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$- 10 x + 14 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some

$- 10 x + 14$ e

$0$ .

$f' (x) = - 10 x + 14$

Etapa 4.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$- 10 x + 14$ .

$- 10 x + 14$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$- 10 x + 14 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ .

$- 10 x + 14 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia

$14$ dos dois lados da equação.

$- 10 x = - 14$

Etapa 5.3

Divida cada termo em

$- 10 x = - 14$ por

$- 10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em

$- 10 x = - 14$ por

$- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de

$- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 14}{- 10}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{- 14}{- 10}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de

$- 14$ e

$- 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore

$- 2$ de

$- 14$ .

$x = \frac{- 2 (7)}{- 10}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore

$- 2$ de

$- 10$ .

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 2 \cdot 7}{- 2 \cdot 5}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{7}{5}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{7}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em

$x = \frac{7}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10$

Etapa 9

$x = \frac{7}{5}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{7}{5}$ é um máximo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando

$x = \frac{7}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Substitua a variável

$x$ por

$\frac{7}{5}$ na expressão.

$f (\frac{7}{5}) = - 5 {(\frac{7}{5})}^{2} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{7^{2}}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.2

Eleve

$7$ à potência de

$2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 \frac{49}{5^{2}} + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.3

Eleve

$5$ à potência de

$2$ .

$f (\frac{7}{5}) = - 5 (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.4

Cancele o fator comum de

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.4.1

Fatore

$5$ de

$- 5$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 (- 1) (\frac{49}{25}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.4.2

Fatore

$5$ de

$25$ .

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.4.3

Cancele o fator comum.

$f (\frac{7}{5}) = 5 \cdot (- 1 \frac{49}{5 \cdot 5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.4.4

Reescreva a expressão.

$f (\frac{7}{5}) = - 1 (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.5

Reescreva

$- 1 (\frac{49}{5})$ como

$- (\frac{49}{5})$ .

$f (\frac{7}{5}) = - (\frac{49}{5}) + 14 (\frac{7}{5}) + 3$

Etapa 10.2.1.6

Multiplique

$14 (\frac{7}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1

Combine

$14$ e

$\frac{7}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{14 \cdot 7}{5} + 3$

Etapa 10.2.1.6.2

Multiplique

$14$ por

$7$ .

$f (\frac{7}{5}) = - \frac{49}{5} + \frac{98}{5} + 3$

Etapa 10.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{- 49 + 98}{5}$

Etapa 10.2.2.2

Some

$- 49$ e

$98$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 + \frac{49}{5}$

Etapa 10.2.3

Para escrever

$3$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = 3 \cdot \frac{5}{5} + \frac{49}{5}$

Etapa 10.2.4

Combine

$3$ e

$\frac{5}{5}$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5}{5} + \frac{49}{5}$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{7}{5}) = \frac{3 \cdot 5 + 49}{5}$

Etapa 10.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1

Multiplique

$3$ por

$5$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{15 + 49}{5}$

Etapa 10.2.6.2

Some

$15$ e

$49$ .

$f (\frac{7}{5}) = \frac{64}{5}$

Etapa 10.2.7

A resposta final é

$\frac{64}{5}$ .

$y = \frac{64}{5}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para

$f (x) = - 5 x^{2} + 14 x + 3$ .

$(\frac{7}{5}, \frac{64}{5})$ é um máximo local

Etapa 12

Insira SEU problema