Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 10 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x + 10 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $10 x + 10$ e $0$ .

$10 x + 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $10$ e $0$ .

$f'' (x) = 10$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$10 x + 10 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 10 x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$10 x + 10 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x + 10 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $10 x + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x + 10$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $10 x + 10$ .

$10 x + 10$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $10 x + 10 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$10 x + 10 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$10 x = - 10$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $10 x = - 10$ por $10$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $10 x = - 10$ por $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $10$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{10}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $- 10$ por $10$ .

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$10$

Etapa 9

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{2} + 10 (- 1) + 3$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 10 (- 1) + 3$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (- 1) = 5 + 10 (- 1) + 3$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 10 + 3$

Etapa 10.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $10$ de $5$ .

$f (- 1) = - 5 + 3$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 5$ e $3$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x^{2} + 10 x + 3$ .

$(- 1, - 2)$ é um mínimo local

Etapa 12

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