Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 4$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Etapa 1.1.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Etapa 1.1.4

Some $5 x^{4}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $20 x^{3}$ .

$20 x^{3}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $20 x^{3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$20 x^{3} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $20 x^{3} = 0$ por $20$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $20 x^{3} = 0$ por $20$ .

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $20$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{20 x^{3}}{20} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{20}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $20$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 3.1

Substitua $0$ em $f (x) = x^{5} - 4$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{5} - 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4$

Etapa 3.1.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$f (0) = - 4$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $0$ em $f (x) = x^{5} - 4$ é $(0, - 4)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, - 4)$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.1$ na expressão.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001$

Etapa 5.2.2

Multiplique $20$ por $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 0.02$ .

$- 0.02$

Etapa 5.3

Em $- 0.1$ , a segunda derivada é $- 0.02$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Eleve $0.1$ à potência de $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001$

Etapa 6.2.2

Multiplique $20$ por $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $0.02$ .

$0.02$

Etapa 6.3

Em $0.1$ , a segunda derivada é $0.02$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(0, - 4)$ .

$(0, - 4)$

Etapa 8

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