Cálculo Exemplos

f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

5 x^{3} - 5 x^{2}

$5 x^{3} - 5 x^{2}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie

\frac{d}{d x} [5 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como

5

$5$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

5 x^{3}

$5 x^{3}$ em relação a

x

$x$ é

5 \frac{d}{d x} [x^{3}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 3

$n = 3$ .

5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique

3

$3$ por

5

$5$ .

15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie

\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como

- 5

$- 5$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- 5 x^{2}

$- 5 x^{2}$ em relação a

x

$x$ é

- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$15 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

15 x^{2} - 5 (2 x)

$15 x^{2} - 5 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique

2

$2$ por

- 5

$- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 10 x$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$15 x^{2} - 10 x$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 1.2.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como

$15$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$15 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$15 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique

$2$ por

$15$ .

$30 x + \frac{d}{d x} [- 10 x]$

Etapa 1.2.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como

$- 10$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 10 x$ em relação a

$x$ é

$- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$30 x - 10 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$30 x - 10 \cdot 1$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique

$- 10$ por

$1$ .

$f'' (x) = 30 x - 10$

Etapa 1.3

A segunda derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$30 x - 10$ .

$30 x - 10$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$30 x - 10 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ .

$30 x - 10 = 0$

Etapa 2.2

Some

$10$ aos dois lados da equação.

$30 x = 10$

Etapa 2.3

Divida cada termo em

$30 x = 10$ por

$30$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em

$30 x = 10$ por

$30$ .

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de

$30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{30 x}{30} = \frac{10}{30}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{10}{30}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Cancele o fator comum de

$10$ e

$30$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.1

Fatore

$10$ de

$10$ .

$x = \frac{10 (1)}{30}$

Etapa 2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1.2.1

Fatore

$10$ de

$30$ .

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{10 \cdot 1}{10 \cdot 3}$

Etapa 2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{1}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

$\frac{1}{3}$ em

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ para encontrar o valor de

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$\frac{1}{3}$ na expressão.

$f (\frac{1}{3}) = 5 {(\frac{1}{3})}^{3} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1^{3}}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{3^{3}}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.3

Eleve

$3$ à potência de

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = 5 (\frac{1}{27}) - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.4

Combine

$5$ e

$\frac{1}{27}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 {(\frac{1}{3})}^{2}$

Etapa 3.1.2.1.5

Aplique a regra do produto a

$\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1^{2}}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 \frac{1}{3^{2}}$

Etapa 3.1.2.1.7

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - 5 (\frac{1}{9})$

Etapa 3.1.2.1.8

Combine

$- 5$ e

$\frac{1}{9}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} + \frac{- 5}{9}$

Etapa 3.1.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9}$

Etapa 3.1.2.2

Para escrever

$- \frac{5}{9}$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5}{9} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 3.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de

$27$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Multiplique

$\frac{5}{9}$ por

$\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{9 \cdot 3}$

Etapa 3.1.2.3.2

Multiplique

$9$ por

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5}{27} - \frac{5 \cdot 3}{27}$

Etapa 3.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 5 \cdot 3}{27}$

Etapa 3.1.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.5.1

Multiplique

$- 5$ por

$3$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{5 - 15}{27}$

Etapa 3.1.2.5.2

Subtraia

$15$ de

$5$ .

$f (\frac{1}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Etapa 3.1.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{3}) = - \frac{10}{27}$

Etapa 3.1.2.7

A resposta final é

$- \frac{10}{27}$ .

$- \frac{10}{27}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir

$\frac{1}{3}$ em

$f (x) = 5 x^{3} - 5 x^{2}$ é

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Etapa 4

Divida

$(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo

$(- \infty, \frac{1}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável

$x$ por

$0.2\overline{3}$ na expressão.

$f'' (0.2\overline{3}) = 30 (0.2\overline{3}) - 10$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Multiplique

$30$ por

$0.2\overline{3}$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = 7 - 10$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$10$ de

$7$ .

$f'' (0.2\overline{3}) = - 3$

Etapa 5.2.3

A resposta final é

$- 3$ .

$- 3$

Etapa 5.3

$0.2\overline{3}$ , a segunda derivada é

$- 3$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo

$(- \infty, \frac{1}{3})$ .

Decréscimo em

$(- \infty, \frac{1}{3})$ , pois

$f'' (x) < 0$

Decréscimo em

$(- \infty, \frac{1}{3})$ , pois

$f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo

$(\frac{1}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável

$x$ por

$0.4\overline{3}$ na expressão.

$f'' (0.4\overline{3}) = 30 (0.4\overline{3}) - 10$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique

$30$ por

$0.4\overline{3}$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 13 - 10$

Etapa 6.2.2

Subtraia

$10$ de

$13$ .

$f'' (0.4\overline{3}) = 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é

$3$ .

$3$

Etapa 6.3

$0.4\overline{3}$ , a segunda derivada é

$3$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo

$(\frac{1}{3}, \infty)$ .

Acréscimo em

$(\frac{1}{3}, \infty)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Acréscimo em

$(\frac{1}{3}, \infty)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Etapa 7

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$ .

$(\frac{1}{3}, - \frac{10}{27})$

Etapa 8

Insira SEU problema