Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 x^{3}$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$4 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique

$3$ por

$2$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como

$- 8$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 8 x$ em relação a

$x$ é

$- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique

$- 8$ por

$1$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Como

$1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$1$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8 + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ e

$0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$4 x^{3} + 6 x^{2} - 8$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 x^{3}$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.2.3

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Como

$6$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$6 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$12 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.3.3

Multiplique

$2$ por

$6$ .

$12 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Como

$- 8$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 8$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$12 x^{2} + 12 x + 0$

Etapa 1.2.4.2

Some

$12 x^{2} + 12 x$ e

$0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 12 x$

Etapa 1.3

A segunda derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$12 x^{2} + 12 x$ .

$12 x^{2} + 12 x$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$12 x^{2} + 12 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ .

$12 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore

$12 x$ de

$12 x^{2} + 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore

$12 x$ de

$12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 12 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore

$12 x$ de

$12 x$ .

$12 x (x) + 12 x (1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore

$12 x$ de

$12 x (x) + 12 x (1)$ .

$12 x (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina

$x$ como igual a

$0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina

$x + 1$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina

$x + 1$ como igual a

$0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia

$1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam

$12 x (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 1$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua

$0$ em

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para encontrar o valor de

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável

$x$ por

$0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 {(0)}^{3} - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.2

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$f (0) = 0 + 2 \cdot 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Some

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2.2

Some

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Etapa 3.1.2.2.3

Some

$0$ e

$1$ .

$f (0) = 1$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é

$1$ .

$1$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir

$0$ em

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ é

$(0, 1)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(0, 1)$

Etapa 3.3

Substitua

$- 1$ em

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ para encontrar o valor de

$y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 1$ na expressão.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Eleve

$- 1$ à potência de

$4$ .

$f (- 1) = 1 + 2 {(- 1)}^{3} - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.2

Eleve

$- 1$ à potência de

$3$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot - 1 - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.3

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 - 8 \cdot - 1 + 1$

Etapa 3.3.2.1.4

Multiplique

$- 8$ por

$- 1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 8 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Subtraia

$2$ de

$1$ .

$f (- 1) = - 1 + 8 + 1$

Etapa 3.3.2.2.2

Some

$- 1$ e

$8$ .

$f (- 1) = 7 + 1$

Etapa 3.3.2.2.3

Some

$7$ e

$1$ .

$f (- 1) = 8$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é

$8$ .

$8$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir

$- 1$ em

$f (x) = x^{4} + 2 x^{3} - 8 x + 1$ é

$(- 1, 8)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 1, 8)$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(0, 1), (- 1, 8)$

Etapa 4

Divida

$(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo

$(- \infty, - 1)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 1.1$ na expressão.

$f'' (- 1.1) = 12 {(- 1.1)}^{2} + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve

$- 1.1$ à potência de

$2$ .

$f'' (- 1.1) = 12 \cdot 1.21 + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique

$12$ por

$1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 + 12 (- 1.1)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique

$12$ por

$- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 14.52 - 13.2$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$13.2$ de

$14.52$ .

$f'' (- 1.1) = 1.32$

Etapa 5.2.3

A resposta final é

$1.32$ .

$1.32$

Etapa 5.3

$- 1.1$ , a segunda derivada é

$1.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo

$(- \infty, - 1)$ .

Acréscimo em

$(- \infty, - 1)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Acréscimo em

$(- \infty, - 1)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo

$(- 1, 0)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável

$x$ por

$- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a

$- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a

$\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.2

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por

$1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{2^{2}}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.5

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 12 (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de

$4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.6.1

Fatore

$4$ de

$12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (3) (\frac{1}{4}) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (3 (\frac{1}{4})) + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.1.7

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.7.1

Mova o negativo de maior ordem em

$- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 12 (\frac{- 1}{2})$

Etapa 6.2.1.7.2

Fatore

$2$ de

$12$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 (6) (\frac{- 1}{2})$

Etapa 6.2.1.7.3

Cancele o fator comum.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 2 \cdot (6 (\frac{- 1}{2}))$

Etapa 6.2.1.7.4

Reescreva a expressão.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 + 6 \cdot - 1$

Etapa 6.2.1.8

Multiplique

$6$ por

$- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 3 - 6$

Etapa 6.2.2

Subtraia

$6$ de

$3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Etapa 6.2.3

A resposta final é

$- 3$ .

$- 3$

Etapa 6.3

$- \frac{1}{2}$ , a segunda derivada é

$- 3$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo

$(- 1, 0)$ .

Decréscimo em

$(- 1, 0)$ , pois

$f'' (x) < 0$

Decréscimo em

$(- 1, 0)$ , pois

$f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo

$(0, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável

$x$ por

$0.1$ na expressão.

$f'' (0.1) = 12 {(0.1)}^{2} + 12 (0.1)$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve

$0.1$ à potência de

$2$ .

$f'' (0.1) = 12 \cdot 0.01 + 12 (0.1)$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique

$12$ por

$0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 12 (0.1)$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique

$12$ por

$0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.12 + 1.2$

Etapa 7.2.2

Some

$0.12$ e

$1.2$ .

$f'' (0.1) = 1.32$

Etapa 7.2.3

A resposta final é

$1.32$ .

$1.32$

Etapa 7.3

$0.1$ , a segunda derivada é

$1.32$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo

$(0, \infty)$ .

Acréscimo em

$(0, \infty)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Acréscimo em

$(0, \infty)$ , pois

$f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são

$(- 1, 8), (0, 1)$ .

$(- 1, 8), (0, 1)$

Etapa 9

Insira SEU problema