Cálculo Exemplos

f (x) = 5 x^{2} - 3 x - 1

$f (x) = 5 x^{2} - 3 x - 1$ ,

[- 1, 3]

$[- 1, 3]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

5 x^{2} - 3 x - 1

$5 x^{2} - 3 x - 1$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie

\frac{d}{d x} [5 x^{2}]

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como

5

$5$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

5 x^{2}

$5 x^{2}$ em relação a

x

$x$ é

5 \frac{d}{d x} [x^{2}]

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 2

$n = 2$ .

5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique

2

$2$ por

5

$5$ .

10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie

\frac{d}{d x} [- 3 x]

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como

- 3

$- 3$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- 3 x

$- 3 x$ em relação a

x

$x$ é

- 3 \frac{d}{d x} [x]

$- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$10 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]

$10 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique

$- 3$ por

$1$ .

$10 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 1$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$10 x - 3 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some

$10 x - 3$ e

$0$ .

$f' (x) = 10 x - 3$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$10 x - 3$ .

$10 x - 3$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$10 x - 3 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a

$0$ .

$10 x - 3 = 0$

Etapa 1.2.2

Some

$3$ aos dois lados da equação.

$10 x = 3$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em

$10 x = 3$ por

$10$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em

$10 x = 3$ por

$10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de

$10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10 x}{10} = \frac{3}{10}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida

$x$ por

$1$ .

$x = \frac{3}{10}$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie

$5 x^{2} - 3 x - 1$ em cada valor

$x$ em que a derivada é

$0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em

$x = \frac{3}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua

$\frac{3}{10}$ por

$x$ .

$5 {(\frac{3}{10})}^{2} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a

$\frac{3}{10}$ .

$5 \frac{3^{2}}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$5 \frac{9}{10^{2}} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve

$10$ à potência de

$2$ .

$5 (\frac{9}{100}) - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de

$5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.4.1

Fatore

$5$ de

$100$ .

$5 \frac{9}{5 (20)} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$5 \frac{9}{5 \cdot 20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Multiplique

$- 3 (\frac{3}{10})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.5.1

Combine

$- 3$ e

$\frac{3}{10}$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2

Multiplique

$- 3$ por

$3$ .

$\frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique

$\frac{9}{10}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique

$\frac{9}{10}$ por

$\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 1$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Escreva

$- 1$ como uma fração com denominador

$1$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique

$\frac{- 1}{1}$ por

$\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Multiplique

$\frac{- 1}{1}$ por

$\frac{20}{20}$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Reordene os fatores de

$10 \cdot 2$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.2.7

Multiplique

$2$ por

$10$ .

$\frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{9 - 9 \cdot 2 - 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique

$- 9$ por

$2$ .

$\frac{9 - 18 - 1 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique

$- 1$ por

$20$ .

$\frac{9 - 18 - 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Subtraia

$18$ de

$9$ .

$\frac{- 9 - 20}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Subtraia

$20$ de

$- 9$ .

$\frac{- 29}{20}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29}{20}$

Etapa 1.4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em

$x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua

$- 1$ por

$x$ .

$5 {(- 1)}^{2} - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve

$- 1$ à potência de

$2$ .

$5 \cdot 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique

$5$ por

$1$ .

$5 - 3 \cdot - 1 - 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique

$- 3$ por

$- 1$ .

$5 + 3 - 1$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Some

$5$ e

$3$ .

$8 - 1$

Etapa 2.1.2.2.2

Subtraia

$1$ de

$8$ .

$7$

Etapa 2.2

Avalie em

$x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua

$3$ por

$x$ .

$5 {(3)}^{2} - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

$5 \cdot 9 - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2.1.2

Multiplique

$5$ por

$9$ .

$45 - 3 \cdot 3 - 1$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique

$- 3$ por

$3$ .

$45 - 9 - 1$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia

$9$ de

$45$ .

$36 - 1$

Etapa 2.2.2.2.2

Subtraia

$1$ de

$36$ .

$35$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 1, 7), (3, 35)$

Etapa 3

Compare os valores de

$f (x)$ encontrados para cada valor de

$x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de

$f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de

$f (x)$ .

Máximo absoluto:

$(3, 35)$

Mínimo absoluto:

$(\frac{3}{10}, - \frac{29}{20})$

Etapa 4

Insira SEU problema