Cálculo Exemplos

f (x) = x^{4} - 4 x^{3}

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3}$

Etapa 1

Find the

x

$x$ values where the second derivative is equal to

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x^{4} - 4 x^{3}

$x^{4} - 4 x^{3}$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como

$- 4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 4 x^{3}$ em relação a

$x$ é

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique

$3$ por

$- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$4 x^{3} - 12 x^{2}$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 x^{3}$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Como

$- 12$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 12 x^{2}$ em relação a

$x$ é

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 12 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique

$2$ por

$- 12$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 24 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$12 x^{2} - 24 x$ .

$12 x^{2} - 24 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$12 x^{2} - 24 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ .

$12 x^{2} - 24 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore

$12 x$ de

$12 x^{2} - 24 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore

$12 x$ de

$12 x^{2}$ .

$12 x (x) - 24 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore

$12 x$ de

$- 24 x$ .

$12 x (x) + 12 x (- 2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore

$12 x$ de

$12 x (x) + 12 x (- 2)$ .

$12 x (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina

$x$ como igual a

$0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina

$x - 2$ como igual a

$0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam

$12 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores

$x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo

$(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2} - 24 \cdot - 2$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4 - 24 \cdot - 2$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique

$12$ por

$4$ .

$f'' (- 2) = 48 - 24 \cdot - 2$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique

$- 24$ por

$- 2$ .

$f'' (- 2) = 48 + 48$

Etapa 4.2.2

Some

$48$ e

$48$ .

$f'' (- 2) = 96$

Etapa 4.2.3

A resposta final é

$96$ .

$96$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo

$(- \infty, 0)$ porque

$f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo

$(0, 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável

$x$ por

$1$ na expressão.

$f'' (1) = 12 {(1)}^{2} - 24 \cdot 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (1) = 12 \cdot 1 - 24 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique

$12$ por

$1$ .

$f'' (1) = 12 - 24 \cdot 1$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique

$- 24$ por

$1$ .

$f'' (1) = 12 - 24$

Etapa 5.2.2

Subtraia

$24$ de

$12$ .

$f'' (1) = - 12$

Etapa 5.2.3

A resposta final é

$- 12$ .

$- 12$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo

$(0, 2)$ porque

$f'' (1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em

$(0, 2)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Concavidade para baixo em

$(0, 2)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo

$(2, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável

$x$ por

$4$ na expressão.

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 24 \cdot 4$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve

$4$ à potência de

$2$ .

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 24 \cdot 4$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique

$12$ por

$16$ .

$f'' (4) = 192 - 24 \cdot 4$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique

$- 24$ por

$4$ .

$f'' (4) = 192 - 96$

Etapa 6.2.2

Subtraia

$96$ de

$192$ .

$f'' (4) = 96$

Etapa 6.2.3

A resposta final é

$96$ .

$96$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo

$(2, \infty)$ porque

$f'' (4)$ é positivo.

Concavidade para cima em

$(2, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(2, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em

$(0, 2)$ , já que

$f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em

$(2, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 8

Insira SEU problema