Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6$

Etapa 1

Find the

$x$ values where the second derivative is equal to

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x^{4} - 6$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.1.3

Como

$- 6$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 6$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.1.4

Some

$4 x^{3}$ e

$0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 x^{3}$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 3$ .

$4 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique

$3$ por

$4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2}$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de

$f (x)$ com relação a

$x$ é

$12 x^{2}$ .

$12 x^{2}$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ e resolva a equação

$12 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a

$0$ .

$12 x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em

$12 x^{2} = 0$ por

$12$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em

$12 x^{2} = 0$ por

$12$ .

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Cancele o fator comum de

$12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Divida

$x^{2}$ por

$1$ .

$x^{2} = \frac{0}{12}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.3.1

Divida

$0$ por

$12$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 1.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 1.2.4

Simplifique

$\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Reescreva

$0$ como

$0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 1.2.4.3

Mais ou menos

$0$ é

$0$ .

$x = 0$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores

$x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo

$(- \infty, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua a variável

$x$ por

$- 2$ na expressão.

$f'' (- 2) = 12 {(- 2)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Eleve

$- 2$ à potência de

$2$ .

$f'' (- 2) = 12 \cdot 4$

Etapa 4.2.2

Multiplique

$12$ por

$4$ .

$f'' (- 2) = 48$

Etapa 4.2.3

A resposta final é

$48$ .

$48$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo

$(- \infty, 0)$ porque

$f'' (- 2)$ é positivo.

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo

$(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável

$x$ por

$2$ na expressão.

$f'' (2) = 12 {(2)}^{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$f'' (2) = 12 \cdot 4$

Etapa 5.2.2

Multiplique

$12$ por

$4$ .

$f'' (2) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é

$48$ .

$48$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo

$(0, \infty)$ porque

$f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 6

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em

$(- \infty, 0)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Concavidade para cima em

$(0, \infty)$ , já que

$f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

Insira SEU problema