Cálculo Exemplos

$y = {(x + 3)}^{2}$ , $(1, 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 1$ e $y = 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 3) (x + 3)]$

Etapa 1.2

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + 3) + 3 (x + 3)]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3]$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 3 x + 9]$

Etapa 1.3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 9]$

Etapa 1.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 6 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.6

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.8

Multiplique $6$ por $1$ .

$2 x + 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 1.9

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 6 + 0$

Etapa 1.10

Some $2 x + 6$ e $0$ .

$2 x + 6$

Etapa 1.11

Avalie a derivada em $x = 1$ .

$2 (1) + 6$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + 6$

Etapa 1.12.2

Some $2$ e $6$ .

$8$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $8$ e um ponto determinado $(1, 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 8 \cdot (x - (1))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $8 \cdot (x - 1)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y - 16 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y - 16 = 8 \cdot (x - 1)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y - 16 = 8 x + 8 \cdot - 1$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$y - 16 = 8 x - 8$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Some $16$ aos dois lados da equação.

$y = 8 x - 8 + 16$

Etapa 2.3.2.2

Some $- 8$ e $16$ .

$y = 8 x + 8$

Etapa 3

Insira SEU problema