Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 6$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Etapa 1.1.3

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} + 0$

Etapa 1.1.4

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} = 0$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 x^{3} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 2.4.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $0$ .

$0$

Etapa 4

Depois de encontrar o ponto que torna a derivada $f' (x) = 4 x^{3}$ igual a $0$ ou indefinida, o intervalo para verificar onde $f (x) = x^{4} - 6$ está aumentando e onde está diminuindo é $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 0)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f' (- 1) = 4 {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f' (- 1) = 4 \cdot - 1$

Etapa 5.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 4$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$- 4$

Etapa 5.3

Em $x = - 1$ , a derivada é $- 4$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- \infty, 0)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 0)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(0, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 4 {(1)}^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 4 \cdot 1$

Etapa 6.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$f' (1) = 4$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 6.3

Em $x = 1$ , a derivada é $4$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(0, \infty)$ .

Acréscimo em $(0, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 7

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(0, \infty)$

Decréscimo em: $(- \infty, 0)$

Etapa 8

Insira SEU problema