Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} - x^{4} + x + 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - x^{4} + x + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$12 x^{2} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.4.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1 + 0$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Some $12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$ e $0$ .

$12 x^{2} - 4 x^{3} + 1$

Etapa 1.5.2

Reordene os termos.

$- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$

Etapa 2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 3.02727941$

Etapa 3

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 3.02727941) \cup (3.02727941, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 3.02727941)$ na primeira derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 4 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = - 4 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} + 1$

Etapa 4.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 5

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(3.02727941, \infty)$ na primeira derivada $- 4 x^{3} + 12 x^{2} + 1$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = - 4 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} + 1$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = - 4 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $216$ .

$f' (6) = - 864 + 12 {(6)}^{2} + 1$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = - 864 + 12 \cdot 36 + 1$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $12$ por $36$ .

$f' (6) = - 864 + 432 + 1$

Etapa 5.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 5.2.2.1

Some $- 864$ e $432$ .

$f' (6) = - 432 + 1$

Etapa 5.2.2.2

Some $- 432$ e $1$ .

$f' (6) = - 431$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 431$ .

$- 431$

Etapa 6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = 3.02727941$ , há um ponto de inflexão em $x = 3.02727941$ .

Etapa 7

Encontre a coordenada y de $3.02727941$ para determinar o ponto de inflexão.

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Etapa 7.1

Encontre $f (3.02727941)$ para determinar a coordenada y de $3.02727941$ .

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Etapa 7.1.1

Substitua a variável $x$ por $3.02727941$ na expressão.

$f (3.02727941) = 4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2

Simplifique $4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$ .

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Etapa 7.1.2.1

Remova os parênteses.

$4 {(3.02727941)}^{3} - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.2.2.1

Eleve $3.02727941$ à potência de $3$ .

$4 \cdot 27.7432619 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $27.7432619$ .

$110.9730476 - {(3.02727941)}^{4} + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.2.3

Eleve $3.02727941$ à potência de $4$ .

$110.9730476 - 1 \cdot 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.2.4

Multiplique $- 1$ por $83.98660555$ .

$110.9730476 - 83.98660555 + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.3

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.1.2.3.1

Subtraia $83.98660555$ de $110.9730476$ .

$26.98644204 + 3.02727941 + 5$

Etapa 7.1.2.3.2

Some $26.98644204$ e $3.02727941$ .

$30.01372146 + 5$

Etapa 7.1.2.3.3

Some $30.01372146$ e $5$ .

$35.01372146$

Etapa 7.2

Escreva as coordenadas $x$ e $y$ em forma de ponto.

$(3.02727941, 35.01372146)$

Etapa 8

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