Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 7

Divida $1$ por $1$ .

$1$

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