Cálculo Exemplos

lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

1

$1$ por

x

$x$ .

\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.2.3

O logaritmo natural de

1

$1$ é

0

$0$ .

\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

x

$x$ se aproxima de

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Avalie o limite de

1

$1$ , que é constante à medida que

x

$x$ se aproxima de

1

$1$ .

\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

1

$1$ por

x

$x$ .

\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

\frac{0}{1 - 1}

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por

0

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x)}{x - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.2

A derivada de

\ln (x)

$\ln (x)$ em relação a

x

$x$ é

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x - 1]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de

x - 1

$x - 1$ com relação a

x

$x$ é

\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.5

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- 1

$- 1$ em relação a

x

$x$ é

0

$0$ .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1 + 0}$

Etapa 3.6

Some

1

$1$ e

0

$0$ .

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique

\frac{1}{x}

$\frac{1}{x}$ por

1

$1$ .

lim_{x \to 1} \frac{1}{x}

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que

x

$x$ se aproxima de

1

$1$ .

\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de

1

$1$ , que é constante à medida que

x

$x$ se aproxima de

1

$1$ .

\frac{1}{lim_{x \to 1} x}

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

\frac{1}{lim_{x \to 1} x}

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 6

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

1

$1$ por

x

$x$ .

\frac{1}{1}

$\frac{1}{1}$

Etapa 7

Divida

1

$1$ por

1

$1$ .

1

$1$

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