Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \infty} 6 x^{4} - 5 x^{2}}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Etapa 1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 7 x^{4} + 14}$

Etapa 1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{6 x^{4} - 5 x^{2}}{7 x^{4} + 14} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4} - 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{4} - 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{4}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 5 (2 x)}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4} + 14]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{4} + 14$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{\frac{d}{d x} [7 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{4}]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{4}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{7 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14]}$

Etapa 3.6.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + \frac{d}{d x} [14]}$

Etapa 3.7

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3} + 0}$

Etapa 3.8

Some $28 x^{3}$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{28 x^{3}}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{1}{28}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 x^{3} - 10 x}{x^{3}}$

Etapa 5

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{24 x^{3}}{x^{3}} + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.1.2

Divida $24$ por $1$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10 x}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $x$ de $- 10 x$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{x \cdot - 10}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 + \frac{- 10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}}}$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{28} lim_{x \to \infty} \frac{24 - \frac{10}{x^{2}}}{1}$

Etapa 6.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.5

Avalie o limite de $24$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - lim_{x \to \infty} \frac{10}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 6.6

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 8

Avalie o limite.

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Etapa 8.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{28} \cdot \frac{24 - 10 \cdot 0}{1}$

Etapa 8.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.2.1

Divida $24 - 10 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{1}{28} (24 - 10 \cdot 0)$

Etapa 8.2.2

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$\frac{1}{28} (24 + 0)$

Etapa 8.2.3

Some $24$ e $0$ .

$\frac{1}{28} \cdot 24$

Etapa 8.2.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.2.4.1

Fatore $4$ de $28$ .

$\frac{1}{4 (7)} \cdot 24$

Etapa 8.2.4.2

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Etapa 8.2.4.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 7} \cdot (4 \cdot 6)$

Etapa 8.2.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{7} \cdot 6$

Etapa 8.2.5

Combine $\frac{1}{7}$ e $6$ .

$\frac{6}{7}$

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