Cálculo Exemplos

lim x \to 0 \frac{2 sin (x) - sin (2 x)}{x - sin (x)}

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim x \to 0 2 sin (x) - sin (2 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

x

$x$ se aproxima de

0

$0$ .

\frac{lim x \to 0 2 sin (x) - lim x \to 0 sin (2 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo

2

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{2 lim x \to 0 sin (x) - lim x \to 0 sin (2 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

\frac{2 sin (lim x \to 0 x) - lim x \to 0 sin (2 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

\frac{2 sin (lim x \to 0 x) - sin (lim x \to 0 2 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.5

Mova o termo

2

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

\frac{2 sin (lim x \to 0 x) - sin (2 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.6

Avalie os limites substituindo

0

$0$ por todas as ocorrências de

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{2 sin (0) - sin (2 lim x \to 0 x)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.6.2

Avalie o limite de

x

$x$ substituindo

0

$0$ por

x

$x$ .

\frac{2 sin (0) - sin (2 \cdot 0)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

\frac{2 sin (0) - sin (2 \cdot 0)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \sin (0) - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1.1

O valor exato de

sin (0)

$\sin (0)$ é

0

$0$ .

\frac{2 \cdot 0 - sin (2 \cdot 0)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{2 \cdot 0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.2

Multiplique

2

$2$ por

0

$0$ .

\frac{0 - sin (2 \cdot 0)}{lim x \to 0 x - sin (x)}

$\frac{0 - \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.3

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.4

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.2.7.2

Some

$0$ e

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3

Avalie os limites substituindo

$0$ por todas as ocorrências de

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Etapa 1.3.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1.1

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Etapa 1.3.4.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.4.2

Some

$0$ e

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - \sin (2 x)}{x - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x) - \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$2 \sin (x) - \sin (2 x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 \sin (x)$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.3.2

A derivada de

$\sin (x)$ em relação a

$x$ é

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4

Avalie

$\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- \sin (2 x)$ em relação a

$x$ é

$- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \sin (x)$ e

$g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de

$\sin (u)$ em relação a

$u$ é

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.3

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 x$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.5

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.6

Mova

$2$ para a esquerda de

$\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - (2 \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.4.7

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$x - \sin (x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Etapa 3.7

Avalie

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- \sin (x)$ em relação a

$x$ é

$- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.7.2

A derivada de

$\sin (x)$ em relação a

$x$ é

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 2 \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.2

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.4

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.6

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 0} x) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.7

Avalie os limites substituindo

$0$ por todas as ocorrências de

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.1

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.7.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1.1

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.2

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$\frac{2 - 2 \cos (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.3

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$\frac{2 - 2 \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.4

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{2 - 2 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.1.5

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.2.8.2

Subtraia

$2$ de

$2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}$

Etapa 4.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.1.3.1.2

Avalie o limite de

$1$ , que é constante à medida que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 4.1.3.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 4.1.3.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Etapa 4.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1.1

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.3.1.2

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 4.1.3.3.2

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.3.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 4.2

Como

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)}{1 - \cos (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$2 \cos (x) - 2 \cos (2 x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 \cos (x)$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de

$\cos (x)$ em relação a

$x$ é

$- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.3.3

Multiplique

$- 1$ por

$2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 2 \cos (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Como

$- 2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 2 \cos (2 x)$ em relação a

$x$ é

$- 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \cos (x)$ e

$g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.2

A derivada de

$\cos (u)$ em relação a

$u$ é

$- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.3

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 x$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.5

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.6

Multiplique

$2$ por

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) - 2 (- 2 \sin (2 x))}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.4.7

Multiplique

$- 2$ por

$- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}$

Etapa 4.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$1 - \cos (x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 4.3.6

Como

$1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$1$ em relação a

$x$ é

$0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}$

Etapa 4.3.7

Avalie

$\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Como

$- 1$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- \cos (x)$ em relação a

$x$ é

$- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Etapa 4.3.7.2

A derivada de

$\cos (x)$ em relação a

$x$ é

$- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 - - \sin (x)}$

Etapa 4.3.7.3

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + 1 \sin (x)}$

Etapa 4.3.7.4

Multiplique

$\sin (x)$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{0 + \sin (x)}$

Etapa 4.3.8

Some

$0$ e

$\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)}$

Etapa 5

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.2

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 4 \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.4

Mova o termo

$4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.6

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (lim_{x \to 0} x) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.7

Avalie os limites substituindo

$0$ por todas as ocorrências de

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.7.1

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.7.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{- 2 \sin (0) + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.8.1.1

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{- 2 \cdot 0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.3

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$\frac{0 + 4 \sin (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.4

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{0 + 4 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.1.5

Multiplique

$4$ por

$0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.2.8.2

Some

$0$ e

$0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 5.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5.1.3.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 5.1.3.3

O valor exato de

$\sin (0)$ é

$0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.3.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.1.4

A expressão contém uma divisão por

$0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 5.2

Como

$\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de

$- 2 \sin (x) + 4 \sin (2 x)$ com relação a

$x$ é

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.3

Avalie

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Como

$- 2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$- 2 \sin (x)$ em relação a

$x$ é

$- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.3.2

A derivada de

$\sin (x)$ em relação a

$x$ é

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4

Avalie

$\frac{d}{d x} [4 \sin (2 x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Como

$4$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$4 \sin (2 x)$ em relação a

$x$ é

$4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

$f (x) = \sin (x)$ e

$g (x) = 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

$u$ como

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2.2

A derivada de

$\sin (u)$ em relação a

$u$ é

$\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de

$u$ por

$2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.3

Como

$2$ é constante em relação a

$x$ , a derivada de

$2 x$ em relação a

$x$ é

$2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

$n x^{n - 1}$ , em que

$n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.5

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (\cos (2 x) \cdot 2)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.6

Mova

$2$ para a esquerda de

$\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 4 (2 \cdot \cos (2 x))}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.4.7

Multiplique

$2$ por

$4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 5.3.5

A derivada de

$\sin (x)$ em relação a

$x$ é

$\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) + 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que

$x$ se aproxima de

$0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.3

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 8 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.5

Mova o termo

$8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.7

Mova o termo

$2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Etapa 6.8

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7

Avalie os limites substituindo

$0$ por todas as ocorrências de

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de

$x$ substituindo

$0$ por

$x$ .

$\frac{- 2 \cos (0) + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.2

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.3

Multiplique

$2$ por

$0$ .

$\frac{- 2 + 8 \cos (0)}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.4

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{- 2 + 8 \cdot 1}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.5

Multiplique

$8$ por

$1$ .

$\frac{- 2 + 8}{\cos (0)}$

Etapa 8.1.6

Some

$- 2$ e

$8$ .

$\frac{6}{\cos (0)}$

Etapa 8.2

O valor exato de

$\cos (0)$ é

$1$ .

$\frac{6}{1}$

Etapa 8.3

Divida

$6$ por

$1$ .

$6$

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