Cálculo Exemplos

\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}

$\frac{y}{(y - 2) (y + 3)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar

A

$A$ .

\frac{A}{y - 2}

$\frac{A}{y - 2}$

Etapa 1.2

B

$B$ .

\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é

(y - 2) (y + 3)

$(y - 2) (y + 3)$ .

\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de

y - 2

$y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y - 2) (y + 3)}{(y - 2) (y + 3)} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de

y + 3

$y + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$\frac{y (y + 3)}{y + 3} = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.5.2

Divida

y

$y$ por

1

$1$ .

y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = \frac{(A) (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de

y - 2

$y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = \frac{A (y - 2) (y + 3)}{y - 2} + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.1.2

Divida

(A) (y + 3)

$(A) (y + 3)$ por

1

$1$ .

y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = (A) (y + 3) + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = A y + A \cdot 3 + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.3

Mova

3

$3$ para a esquerda de

A

$A$ .

y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = A y + 3 \cdot A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.4

Cancele o fator comum de

y + 3

$y + 3$ .

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Etapa 1.6.4.1

Cancele o fator comum.

y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}

$y = A y + 3 A + \frac{(B) (y - 2) (y + 3)}{y + 3}$

Etapa 1.6.4.2

Divida

(B) (y - 2)

$(B) (y - 2)$ por

1

$1$ .

y = A y + 3 A + (B) (y - 2)

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

y = A y + 3 A + (B) (y - 2)

$y = A y + 3 A + (B) (y - 2)$

Etapa 1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2

$y = A y + 3 A + B y + B \cdot - 2$

Etapa 1.6.6

Mova

- 2

$- 2$ para a esquerda de

B

$B$ .

y = A y + 3 A + B y - 2 B

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

y = A y + 3 A + B y - 2 B

$y = A y + 3 A + B y - 2 B$

Etapa 1.7

Mova

3 A

$3 A$ .

y = A y + B y + 3 A - 2 B

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

y = A y + B y + 3 A - 2 B

$y = A y + B y + 3 A - 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de

y

$y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

1 = A + B

$1 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm

y

$y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

1 = A + B

$1 = A + B$

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

1 = A + B

$1 = A + B$

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva

A

$A$ em

1 = A + B

$1 = A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como

A + B = 1

$A + B = 1$ .

A + B = 1

$A + B = 1$

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia

B

$B$ dos dois lados da equação.

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de

A

$A$ por

1 - B

$1 - B$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de

A

$A$ em

0 = 3 A - 2 B

$0 = 3 A - 2 B$ por

1 - B

$1 - B$ .

0 = 3 (1 - B) - 2 B

$0 = 3 (1 - B) - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique

3 (1 - B) - 2 B

$3 (1 - B) - 2 B$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B

$0 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique

3

$3$ por

1

$1$ .

0 = 3 + 3 (- B) - 2 B

$0 = 3 + 3 (- B) - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.1.3

Multiplique

- 1

$- 1$ por

3

$3$ .

0 = 3 - 3 B - 2 B

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 - 3 B - 2 B

$0 = 3 - 3 B - 2 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia

2 B

$2 B$ de

- 3 B

$- 3 B$ .

0 = 3 - 5 B

$0 = 3 - 5 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 - 5 B

$0 = 3 - 5 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 - 5 B

$0 = 3 - 5 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

0 = 3 - 5 B

$0 = 3 - 5 B$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3

Resolva

B

$B$ em

0 = 3 - 5 B

$0 = 3 - 5 B$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como

3 - 5 B = 0

$3 - 5 B = 0$ .

3 - 5 B = 0

$3 - 5 B = 0$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.2

Subtraia

3

$3$ dos dois lados da equação.

- 5 B = - 3

$- 5 B = - 3$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em

- 5 B = - 3

$- 5 B = - 3$ por

- 5

$- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em

- 5 B = - 3

$- 5 B = - 3$ por

- 5

$- 5$ .

\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de

- 5

$- 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}

$\frac{- 5 B}{- 5} = \frac{- 3}{- 5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida

B

$B$ por

1

$1$ .

B = \frac{- 3}{- 5}

$B = \frac{- 3}{- 5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{- 3}{- 5}

$B = \frac{- 3}{- 5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{- 3}{- 5}

$B = \frac{- 3}{- 5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = 1 - B

$A = 1 - B$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de

B

$B$ por

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de

B

$B$ em

A = 1 - B

$A = 1 - B$ por

\frac{3}{5}

$\frac{3}{5}$ .

A = 1 - (\frac{3}{5})

$A = 1 - (\frac{3}{5})$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique

1 - (\frac{3}{5})

$1 - (\frac{3}{5})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Escreva

1

$1$ como uma fração com um denominador comum.

A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}

$A = \frac{5}{5} - \frac{3}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

A = \frac{5 - 3}{5}

$A = \frac{5 - 3}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.4.2.1.3

Subtraia

3

$3$ de

5

$5$ .

A = \frac{2}{5}

$A = \frac{2}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = \frac{2}{5}

$A = \frac{2}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = \frac{2}{5}

$A = \frac{2}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

A = \frac{2}{5}

$A = \frac{2}{5}$

B = \frac{3}{5}

$B = \frac{3}{5}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}

$A = \frac{2}{5}, B = \frac{3}{5}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em

\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}

$\frac{A}{y - 2} + \frac{B}{y + 3}$ pelos valores encontrados para

A

$A$ e

B

$B$ .

\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}

$\frac{\frac{2}{5}}{y - 2} + \frac{\frac{3}{5}}{y + 3}$

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