Álgebra Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Escreva a matriz como um produto de uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2

Multiplique $[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ 0 & u_{22} \end{array}]$ .

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Etapa 2.1

Duas matrizes podem ser multiplicadas se e somente se o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de linhas da segunda matriz. Nesse caso, a primeira matriz é $2 \times 2$ e a segunda matriz é $2 \times 2$ .

Etapa 2.2

Multiplique cada linha na primeira matriz por cada coluna na segunda matriz.

$[\begin{array}{c} 1 u_{11} + 0 \cdot 0 & 1 u_{12} + 0 u_{22} \\ l_{21} u_{11} + 1 \cdot 0 & l_{21} u_{12} + 1 u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 2.3

Simplifique cada elemento da matriz multiplicando todas as expressões.

$[\begin{array}{c} u_{11} & u_{12} \\ l_{21} u_{11} & l_{21} u_{12} + u_{22} \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}]$

Etapa 3

Resolva.

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Etapa 3.1

Escreva como um sistema linear de equações.

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{11} = 2$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Etapa 3.2

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{11}$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{11}$ em $l_{21} u_{11} = 2$ por $1$ .

$l_{21} \cdot 1 = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique $l_{21}$ por $1$ .

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$

Etapa 3.2.2

Substitua todas as ocorrências de $l_{21}$ por $2$ em cada equação.

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Etapa 3.2.2.1

Substitua todas as ocorrências de $l_{21}$ em $l_{21} u_{12} + u_{22} = 3$ por $2$ .

$2 \cdot u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.2.2.1

Multiplique $2$ por $u_{12}$ .

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$2 u_{12} + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{12}$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 3.2.3.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{12}$ em $2 u_{12} + u_{22} = 3$ por $- 1$ .

$2 (- 1) + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$- 2 + u_{22} = 3$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.4

Mova todos os termos que não contêm $u_{22}$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.2.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u_{22} = 3 + 2$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.4.2

Some $3$ e $2$ .

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

$u_{22} = 5$

$l_{21} = 2$

$u_{11} = 1$

$u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.5

Resolva o sistema de equações.

$u_{22} = 5 l_{21} = 2 u_{11} = 1 u_{12} = - 1$

Etapa 3.2.6

Liste todas as soluções.

$u_{22} = 5, l_{21} = 2, u_{11} = 1, u_{12} = - 1$

Etapa 4

Substitua nos valores resolvidos.

$[\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}] = [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} 1 & - 1 \\ 0 & 5 \end{array}]$

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