Álgebra Exemplos

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 & - 1 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Multiplique cada elemento de

R_{1}

$R_{1}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ para tornar a entrada em

1, 1

$1, 1$ um

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} \frac{3}{3} & \frac{- 1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1.1.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 & - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 & - 1 \end{array}]$

Etapa 1.2

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em

3, 1

$3, 1$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ para transformar a entrada em

3, 1

$3, 1$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 1 - 1 & - 1 + \frac{1}{3} \end{array}]$

Etapa 1.2.2

Simplifique

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 2 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 2 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 1.3

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Multiplique cada elemento de

R_{2}

$R_{2}$ por

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em

2, 2

$2, 2$ um

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} \frac{0}{2} & \frac{2}{2} 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ \frac{0}{2} & \frac{2}{2} \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 1.3.2

Simplifique

R_{2}

$R_{2}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & - \frac{2}{3} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & - \frac{2}{3} \end{array}]$

Etapa 1.4

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em

3, 2

$3, 2$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Execute a operação de linha

R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}

$R_{3} = R_{3} + \frac{2}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em

3, 2

$3, 2$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 + \frac{2}{3} \cdot 0 & - \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 1.4.2

Simplifique

R_{3}

$R_{3}$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & - \frac{1}{3} 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Execute a operação de linha

R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}

$R_{1} = R_{1} + \frac{1}{3} R_{2}$ para transformar a entrada em

1, 2

$1, 2$ em

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 + \frac{1}{3} \cdot 0 & - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \cdot 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 1.5.2

Simplifique

R_{1}

$R_{1}$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 1 & 0 0 & 1 0 & 0 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 2

As posições de pivô são os locais com o

1

$1$ inicial em cada linha. As colunas pivô são as colunas que têm uma posição pivô.

Posições pivô:

a_{11}

$a_{11}$ e

a_{22}

$a_{22}$

Colunas pivô:

1

$1$ e

2

$2$

Etapa 3

A base para o espaço da coluna de uma matriz é formada considerando as colunas pivô correspondentes na matriz original. A dimensão de

Col (A)

$Col (A)$ é o número de vetores em uma base para

Col (A)

$Col (A)$ .

Base de

Col (A)

$Col (A)$ :

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 301 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦, ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} - 1 2 - 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦ ⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭

${[\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} - 1 \\ 2 \\ - 1 \end{array}]}$

Dimensão de

Col (A)

$Col (A)$ :

2

$2$

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