Álgebra Exemplos

$S ([\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}]) = [\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}]$

Etapa 1

O kernel de uma transformação é um vetor que torna a transformação igual ao vetor zero (a imagem recíproca da transformação).

$[\begin{array}{c} 2 a - 6 b + 6 c \\ a + 2 b + c \\ 2 a + b + 2 c \end{array}] = 0$

Etapa 2

Crie um sistema de equações a partir da equação vetorial.

$2 a - 6 b + 6 c = 0$

$a + 2 b + c = 0$

$2 a + b + 2 c = 0$

Etapa 3

Escreva o sistema como uma matriz.

$[\begin{array}{c} 2 & - 6 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

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Etapa 4.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

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Etapa 4.1.1

Multiplique cada elemento de $R_{1}$ por $\frac{1}{2}$ para tornar a entrada em $1, 1$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{2}{2} & \frac{- 6}{2} & \frac{6}{2} & \frac{0}{2} \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.1.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.2

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

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Etapa 4.2.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} - R_{1}$ para transformar a entrada em $2, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 1 - 1 & 2 + 3 & 1 - 3 & 0 - 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

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Etapa 4.3.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 2 R_{1}$ para transformar a entrada em $3, 1$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & 1 - 2 \cdot - 3 & 2 - 2 \cdot 3 & 0 - 2 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 5 & - 2 & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.4

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

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Etapa 4.4.1

Multiplique cada elemento de $R_{2}$ por $\frac{1}{5}$ para tornar a entrada em $2, 2$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ \frac{0}{5} & \frac{5}{5} & \frac{- 2}{5} & \frac{0}{5} \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.4.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 7 & - 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.5

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

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Etapa 4.5.1

Execute a operação de linha $R_{3} = R_{3} - 7 R_{2}$ para transformar a entrada em $3, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 - 7 \cdot 0 & 7 - 7 \cdot 1 & - 4 - 7 (- \frac{2}{5}) & 0 - 7 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.5.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{6}{5} & 0 \end{array}]$

Etapa 4.6

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{5}{6}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

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Etapa 4.6.1

Multiplique cada elemento de $R_{3}$ por $- \frac{5}{6}$ para tornar a entrada em $3, 3$ um $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} \cdot 0 & - \frac{5}{6} (- \frac{6}{5}) & - \frac{5}{6} \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.6.2

Simplifique $R_{3}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{2}{5} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.7

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

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Etapa 4.7.1

Execute a operação de linha $R_{2} = R_{2} + \frac{2}{5} R_{3}$ para transformar a entrada em $2, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 & 1 + \frac{2}{5} \cdot 0 & - \frac{2}{5} + \frac{2}{5} \cdot 1 & 0 + \frac{2}{5} \cdot 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.7.2

Simplifique $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.8

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

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Etapa 4.8.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} - 3 R_{3}$ para transformar a entrada em $1, 3$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - 3 \cdot 0 & - 3 - 3 \cdot 0 & 3 - 3 \cdot 1 & 0 - 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.8.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.9

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

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Etapa 4.9.1

Execute a operação de linha $R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ para transformar a entrada em $1, 2$ em $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 0 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.9.2

Simplifique $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}]$

Etapa 5

Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.

$a = 0$

$b = 0$

$c = 0$

Etapa 6

Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.

$[\begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]$

Etapa 7

Escreva como um conjunto de soluções.

${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

Etapa 8

O kernel de $S$ é o subespaço ${[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$ .

$K (S) = {[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}]}$

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