Álgebra Exemplos

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 1

$x - 1$

Etapa 1

Divida

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ usando a divisão sintética e verifique se o resto é igual a

0

$0$ . Se o resto for igual a

0

$0$ , isso significa que

x - 1

$x - 1$ é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Se o resto não for igual a

0

$0$ , isso significa que

x - 1

$x - 1$ não é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Etapa 1.2

O primeiro número no dividendo

(1)

$(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Etapa 1.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(1)

$(1)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(1)

$(1)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Etapa 1.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Etapa 1.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 1)

$(- 1)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(- 1)

$(- 1)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 10)

$(- 10)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$

Etapa 1.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Etapa 1.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 11)

$(- 11)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(- 11)

$(- 11)$ sob o próximo termo no dividendo

(7)

$(7)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$

Etapa 1.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Etapa 1.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 4)

$(- 4)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(- 4)

$(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo

(4)

$(4)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$

Etapa 1.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$- 1$ $- 1$	$- 11$ $- 11$	$- 4$ $- 4$	$0$ $0$

Etapa 1.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4

$1 x^{3} + - 1 x^{2} + (- 11) x - 4$

Etapa 1.12

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$

Etapa 2

O resto da divisão de

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 1}$ é

$0$ , o que significa que

$x - 1$ é um fator para

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

$x - 1$ é um fator para

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Etapa 3

Encontre todas as raízes possíveis para

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

$\frac{p}{q}$ , em que

$p$ é um fator da constante e

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Etapa 4

Estabeleça a próxima divisão para determinar se

$x - 4$ é um fator do polinômio

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} - 11 x - 4}{x - 4}$

Etapa 5

Divida a expressão usando a divisão sintética para determinar se é um fator do polinômio.

$x - 4$ se divide uniformemente em

$x^{3} - x^{2} - 11 x - 4$ , então,

$x - 4$ é um fator do polinômio e há um polinômio restante de

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 5.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

Etapa 5.2

O primeiro número no dividendo

$(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$

	$1$

Etapa 5.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

$(1)$ pelo divisor

$(4)$ e coloque o resultado de

$(4)$ sob o próximo termo no dividendo

$(- 1)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$

Etapa 5.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$
	$1$	$3$

Etapa 5.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

$(3)$ pelo divisor

$(4)$ e coloque o resultado de

$(12)$ sob o próximo termo no dividendo

$(- 11)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$

Etapa 5.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$
	$1$	$3$	$1$

Etapa 5.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado

$(1)$ pelo divisor

$(4)$ e coloque o resultado de

$(4)$ sob o próximo termo no dividendo

$(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$

Etapa 5.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 4$
		$4$	$12$	$4$
	$1$	$3$	$1$	$0$

Etapa 5.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 5.10

Simplifique o polinômio do quociente.

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 6

Encontre todas as raízes possíveis para

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

$\frac{p}{q}$ , em que

$p$ é um fator da constante e

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2

Encontre todas as combinações de

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1$

Etapa 7

O fator final é o único fator que restou da divisão sintética.

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 8

O polinômio fatorado é

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

$(x - 1) (x - 4) (x^{2} + 3 x + 1)$

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