Álgebra Exemplos
A=[350750110]
Etapa 1
Etapa 1.1
Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica p(λ).
p(λ)=determinante(A-λI3)
Etapa 1.2
A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho 3 é a matriz quadrada 3×3 com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.
[100010001]
Etapa 1.3
Substitua os valores conhecidos em p(λ)=determinante(A-λI3).
Etapa 1.3.1
Substitua [350750110] por A.
p(λ)=determinante([350750110]-λI3)
Etapa 1.3.2
Substitua [100010001] por I3.
p(λ)=determinante([350750110]-λ[100010001])
p(λ)=determinante([350750110]-λ[100010001])
Etapa 1.4
Simplifique.
Etapa 1.4.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.4.1.1
Multiplique -λ por cada elemento da matriz.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 1.4.1.2.1
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.2
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.2.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.2.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.3
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.3.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.3.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ00-λ⋅0-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.4
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.4.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000λ-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.4.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ⋅1-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.5
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.6
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.6.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0λ-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.6.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ0-λ⋅0-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.7
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.7.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00λ-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.7.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ00-λ⋅0-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.8
Multiplique -λ⋅0.
Etapa 1.4.1.2.8.1
Multiplique 0 por -1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000λ-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.8.2
Multiplique 0 por λ.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ⋅1])
Etapa 1.4.1.2.9
Multiplique -1 por 1.
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
p(λ)=determinante([350750110]+[-λ000-λ000-λ])
Etapa 1.4.2
Adicione os elementos correspondentes.
p(λ)=determinante[3-λ5+00+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Etapa 1.4.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 1.4.3.1
Some 5 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ50+07+05-λ0+01+01+00-λ]
Etapa 1.4.3.2
Some 0 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ507+05-λ0+01+01+00-λ]
Etapa 1.4.3.3
Some 7 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ0+01+01+00-λ]
Etapa 1.4.3.4
Some 0 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ01+01+00-λ]
Etapa 1.4.3.5
Some 1 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011+00-λ]
Etapa 1.4.3.6
Some 1 e 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ0110-λ]
Etapa 1.4.3.7
Subtraia λ de 0.
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
p(λ)=determinante[3-λ5075-λ011-λ]
Etapa 1.5
Encontre o determinante.
Etapa 1.5.1
Escolha a linha ou coluna com mais elementos 0. Se não houver elementos 0, escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na coluna 3 por seu cofator e some.
Etapa 1.5.1.1
Considere o gráfico de sinais correspondente.
|+-+-+-+-+|
Etapa 1.5.1.2
O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição - no gráfico de sinais.
Etapa 1.5.1.3
O menor para a13 é o determinante com a linha 1 e a coluna 3 excluídas.
|75-λ11|
Etapa 1.5.1.4
Multiplique o elemento a13 por seu cofator.
0|75-λ11|
Etapa 1.5.1.5
O menor para a23 é o determinante com a linha 2 e a coluna 3 excluídas.
|3-λ511|
Etapa 1.5.1.6
Multiplique o elemento a23 por seu cofator.
0|3-λ511|
Etapa 1.5.1.7
O menor para a33 é o determinante com a linha 3 e a coluna 3 excluídas.
|3-λ575-λ|
Etapa 1.5.1.8
Multiplique o elemento a33 por seu cofator.
-λ|3-λ575-λ|
Etapa 1.5.1.9
Adicione os termos juntos.
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
p(λ)=0|75-λ11|+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Etapa 1.5.2
Multiplique 0 por |75-λ11|.
p(λ)=0+0|3-λ511|-λ|3-λ575-λ|
Etapa 1.5.3
Multiplique 0 por |3-λ511|.
p(λ)=0+0-λ|3-λ575-λ|
Etapa 1.5.4
Avalie |3-λ575-λ|.
Etapa 1.5.4.1
O determinante de uma matriz 2×2 pode ser encontrado ao usar a fórmula |abcd|=ad-cb.
p(λ)=0+0-λ((3-λ)(5-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.1
Expanda (3-λ)(5-λ) usando o método FOIL.
Etapa 1.5.4.2.1.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3(5-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ(5-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(3⋅5+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2
Simplifique e combine termos semelhantes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.1
Multiplique 3 por 5.
p(λ)=0+0-λ(15+3(-λ)-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.2
Multiplique -1 por 3.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-λ⋅5-λ(-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.3
Multiplique 5 por -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-λ(-λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.4
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ⋅λ-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.1
Mova λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1(λ⋅λ)-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.5.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ-1⋅-1λ2-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.6
Multiplique -1 por -1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+1λ2-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.1.7
Multiplique λ2 por 1.
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-3λ-5λ+λ2-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.2.2
Subtraia 5λ de -3λ.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-7⋅5)
Etapa 1.5.4.2.1.3
Multiplique -7 por 5.
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
p(λ)=0+0-λ(15-8λ+λ2-35)
Etapa 1.5.4.2.2
Subtraia 35 de 15.
p(λ)=0+0-λ(-8λ+λ2-20)
Etapa 1.5.4.2.3
Reordene -8λ e λ2.
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=0+0-λ(λ2-8λ-20)
Etapa 1.5.5
Simplifique o determinante.
Etapa 1.5.5.1
Combine os termos opostos em 0+0-λ(λ2-8λ-20).
Etapa 1.5.5.1.1
Some 0 e 0.
p(λ)=0-λ(λ2-8λ-20)
Etapa 1.5.5.1.2
Subtraia λ(λ2-8λ-20) de 0.
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
p(λ)=-λ(λ2-8λ-20)
Etapa 1.5.5.2
Aplique a propriedade distributiva.
p(λ)=-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3
Simplifique.
Etapa 1.5.5.3.1
Multiplique λ por λ2 somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.3.1.1
Mova λ2.
p(λ)=-(λ2λ)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3.1.2
Multiplique λ2 por λ.
Etapa 1.5.5.3.1.2.1
Eleve λ à potência de 1.
p(λ)=-(λ2λ1)-λ(-8λ)-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3.1.2.2
Use a regra da multiplicação de potências aman=am+n para combinar expoentes.
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ2+1-λ(-8λ)-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3.1.3
Some 2 e 1.
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
p(λ)=-λ3-λ(-8λ)-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3.2
Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ-λ⋅-20
Etapa 1.5.5.3.3
Multiplique -20 por -1.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ⋅λ+20λ
Etapa 1.5.5.4
Simplifique cada termo.
Etapa 1.5.5.4.1
Multiplique λ por λ somando os expoentes.
Etapa 1.5.5.4.1.1
Mova λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8(λ⋅λ)+20λ
Etapa 1.5.5.4.1.2
Multiplique λ por λ.
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
p(λ)=-λ3-1⋅-8λ2+20λ
Etapa 1.5.5.4.2
Multiplique -1 por -8.
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
p(λ)=-λ3+8λ2+20λ
Etapa 1.6
Defina o polinômio característico como igual a 0 para encontrar os autovalores λ.
-λ3+8λ2+20λ=0
Etapa 1.7
Resolva λ.
Etapa 1.7.1
Fatore o lado esquerdo da equação.
Etapa 1.7.1.1
Fatore -λ de -λ3+8λ2+20λ.
Etapa 1.7.1.1.1
Fatore -λ de -λ3.
-λ⋅λ2+8λ2+20λ=0
Etapa 1.7.1.1.2
Fatore -λ de 8λ2.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)+20λ=0
Etapa 1.7.1.1.3
Fatore -λ de 20λ.
-λ⋅λ2-λ(-8λ)-λ⋅-20=0
Etapa 1.7.1.1.4
Fatore -λ de -λ(λ2)-λ(-8λ).
-λ(λ2-8λ)-λ⋅-20=0
Etapa 1.7.1.1.5
Fatore -λ de -λ(λ2-8λ)-λ(-20).
-λ(λ2-8λ-20)=0
-λ(λ2-8λ-20)=0
Etapa 1.7.1.2
Fatore.
Etapa 1.7.1.2.1
Fatore λ2-8λ-20 usando o método AC.
Etapa 1.7.1.2.1.1
Considere a forma x2+bx+c. Encontre um par de números inteiros cujo produto é c e cuja soma é b. Neste caso, cujo produto é -20 e cuja soma é -8.
-10,2
Etapa 1.7.1.2.1.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
-λ((λ-10)(λ+2))=0
-λ((λ-10)(λ+2))=0
Etapa 1.7.1.2.2
Remova os parênteses desnecessários.
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
-λ(λ-10)(λ+2)=0
Etapa 1.7.2
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a 0, toda a expressão será igual a 0.
λ=0
λ-10=0
λ+2=0
Etapa 1.7.3
Defina λ como igual a 0.
λ=0
Etapa 1.7.4
Defina λ-10 como igual a 0 e resolva para λ.
Etapa 1.7.4.1
Defina λ-10 como igual a 0.
λ-10=0
Etapa 1.7.4.2
Some 10 aos dois lados da equação.
λ=10
λ=10
Etapa 1.7.5
Defina λ+2 como igual a 0 e resolva para λ.
Etapa 1.7.5.1
Defina λ+2 como igual a 0.
λ+2=0
Etapa 1.7.5.2
Subtraia 2 dos dois lados da equação.
λ=-2
λ=-2
Etapa 1.7.6
A solução final são todos os valores que tornam -λ(λ-10)(λ+2)=0 verdadeiro.
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
λ=0,10,-2
Etapa 2
O autovetor é igual ao espaço nulo da matriz menos o autovalor vezes a matriz identidade onde N é o espaço nulo e I é a matriz identidade.
εA=N(A-λI3)
Etapa 3
Etapa 3.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([350750110]+0[100010001])
Etapa 3.2
Simplifique.
Etapa 3.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 3.2.1.1
Multiplique 0 por cada elemento da matriz.
[350750110]+[0⋅10⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 3.2.1.2.1
Multiplique 0 por 1.
[350750110]+[00⋅00⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.2
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[000⋅00⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.3
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[0000⋅00⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.4
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[00000⋅10⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.5
Multiplique 0 por 1.
[350750110]+[000000⋅00⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.6
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[0000000⋅00⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.7
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[00000000⋅00⋅1]
Etapa 3.2.1.2.8
Multiplique 0 por 0.
[350750110]+[000000000⋅1]
Etapa 3.2.1.2.9
Multiplique 0 por 1.
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
[350750110]+[000000000]
Etapa 3.2.2
Somar qualquer matriz a uma matriz nula resulta na própria matriz.
Etapa 3.2.2.1
Adicione os elementos correspondentes.
[3+05+00+07+05+00+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2
Simplifique cada elemento.
Etapa 3.2.2.2.1
Some 3 e 0.
[35+00+07+05+00+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.2
Some 5 e 0.
[350+07+05+00+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.3
Some 0 e 0.
[3507+05+00+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.4
Some 7 e 0.
[35075+00+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.5
Some 5 e 0.
[350750+01+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.6
Some 0 e 0.
[3507501+01+00+0]
Etapa 3.2.2.2.7
Some 1 e 0.
[35075011+00+0]
Etapa 3.2.2.2.8
Some 1 e 0.
[350750110+0]
Etapa 3.2.2.2.9
Some 0 e 0.
[350750110]
[350750110]
[350750110]
[350750110]
Etapa 3.3
Encontre o espaço nulo quando λ=0.
Etapa 3.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[350075001100]
Etapa 3.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 3.3.2.1
Multiplique cada elemento de R1 por 13 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Etapa 3.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por 13 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
[3353030375001100]
Etapa 3.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1530075001100]
[1530075001100]
Etapa 3.3.2.2
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Etapa 3.3.2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[153007-7⋅15-7(53)0-7⋅00-7⋅01100]
Etapa 3.3.2.2.2
Simplifique R2.
[153000-203001100]
[153000-203001100]
Etapa 3.3.2.3
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Etapa 3.3.2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[153000-203001-11-530-00-0]
Etapa 3.3.2.3.2
Simplifique R3.
[153000-203000-2300]
[153000-203000-2300]
Etapa 3.3.2.4
Multiplique cada elemento de R2 por -320 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
Etapa 3.3.2.4.1
Multiplique cada elemento de R2 por -320 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
[15300-320⋅0-320(-203)-320⋅0-320⋅00-2300]
Etapa 3.3.2.4.2
Simplifique R2.
[1530001000-2300]
[1530001000-2300]
Etapa 3.3.2.5
Execute a operação de linha R3=R3+23R2 para transformar a entrada em 3,2 em 0.
Etapa 3.3.2.5.1
Execute a operação de linha R3=R3+23R2 para transformar a entrada em 3,2 em 0.
[1530001000+23⋅0-23+23⋅10+23⋅00+23⋅0]
Etapa 3.3.2.5.2
Simplifique R3.
[1530001000000]
[1530001000000]
Etapa 3.3.2.6
Execute a operação de linha R1=R1-53R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Etapa 3.3.2.6.1
Execute a operação de linha R1=R1-53R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1-53⋅053-53⋅10-53⋅00-53⋅001000000]
Etapa 3.3.2.6.2
Simplifique R1.
[100001000000]
[100001000000]
[100001000000]
Etapa 3.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x=0
y=0
0=0
Etapa 3.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[00z]
Etapa 3.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=z[001]
Etapa 3.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{z[001]|z∈R}
Etapa 3.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[001]}
{[001]}
{[001]}
Etapa 4
Etapa 4.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([350750110]-10[100010001])
Etapa 4.2
Simplifique.
Etapa 4.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 4.2.1.1
Multiplique -10 por cada elemento da matriz.
[350750110]+[-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 4.2.1.2.1
Multiplique -10 por 1.
[350750110]+[-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.2
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.3
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-1000-10⋅0-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.4
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-10000-10⋅1-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.5
Multiplique -10 por 1.
[350750110]+[-10000-10-10⋅0-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.6
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-10000-100-10⋅0-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.7
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-10000-1000-10⋅0-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.8
Multiplique -10 por 0.
[350750110]+[-10000-10000-10⋅1]
Etapa 4.2.1.2.9
Multiplique -10 por 1.
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
[350750110]+[-10000-10000-10]
Etapa 4.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[3-105+00+07+05-100+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 4.2.3.1
Subtraia 10 de 3.
[-75+00+07+05-100+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3.2
Some 5 e 0.
[-750+07+05-100+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3.3
Some 0 e 0.
[-7507+05-100+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3.4
Some 7 e 0.
[-75075-100+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3.5
Subtraia 10 de 5.
[-7507-50+01+01+00-10]
Etapa 4.2.3.6
Some 0 e 0.
[-7507-501+01+00-10]
Etapa 4.2.3.7
Some 1 e 0.
[-7507-5011+00-10]
Etapa 4.2.3.8
Some 1 e 0.
[-7507-50110-10]
Etapa 4.2.3.9
Subtraia 10 de 0.
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
[-7507-5011-10]
Etapa 4.3
Encontre o espaço nulo quando λ=10.
Etapa 4.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[-75007-50011-100]
Etapa 4.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 4.3.2.1
Multiplique cada elemento de R1 por -17 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Etapa 4.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por -17 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
[-17⋅-7-17⋅5-17⋅0-17⋅07-50011-100]
Etapa 4.3.2.1.2
Simplifique R1.
[1-57007-50011-100]
[1-57007-50011-100]
Etapa 4.3.2.2
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Etapa 4.3.2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[1-57007-7⋅1-5-7(-57)0-7⋅00-7⋅011-100]
Etapa 4.3.2.2.2
Simplifique R2.
[1-5700000011-100]
[1-5700000011-100]
Etapa 4.3.2.3
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Etapa 4.3.2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[1-570000001-11+57-10-00-0]
Etapa 4.3.2.3.2
Simplifique R3.
[1-570000000127-100]
[1-570000000127-100]
Etapa 4.3.2.4
Troque R3 por R2 para colocar uma entrada diferente de zero em 2,2.
[1-57000127-1000000]
Etapa 4.3.2.5
Multiplique cada elemento de R2 por 712 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
Etapa 4.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de R2 por 712 para tornar a entrada em 2,2 um 1.
[1-5700712⋅0712⋅127712⋅-10712⋅00000]
Etapa 4.3.2.5.2
Simplifique R2.
[1-570001-35600000]
[1-570001-35600000]
Etapa 4.3.2.6
Execute a operação de linha R1=R1+57R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
Etapa 4.3.2.6.1
Execute a operação de linha R1=R1+57R2 para transformar a entrada em 1,2 em 0.
[1+57⋅0-57+57⋅10+57(-356)0+57⋅001-35600000]
Etapa 4.3.2.6.2
Simplifique R1.
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
[10-256001-35600000]
Etapa 4.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x-256z=0
y-356z=0
0=0
Etapa 4.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[25z635z6z]
Etapa 4.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=z[2563561]
Etapa 4.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{z[2563561]|z∈R}
Etapa 4.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[2563561]}
{[2563561]}
{[2563561]}
Etapa 5
Etapa 5.1
Substitua os valores conhecidos na fórmula.
N([350750110]+2[100010001])
Etapa 5.2
Simplifique.
Etapa 5.2.1
Simplifique cada termo.
Etapa 5.2.1.1
Multiplique 2 por cada elemento da matriz.
[350750110]+[2⋅12⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2
Simplifique cada elemento da matriz.
Etapa 5.2.1.2.1
Multiplique 2 por 1.
[350750110]+[22⋅02⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.2
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[202⋅02⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.3
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[2002⋅02⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.4
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[20002⋅12⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.5
Multiplique 2 por 1.
[350750110]+[200022⋅02⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.6
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[2000202⋅02⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.7
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[20002002⋅02⋅1]
Etapa 5.2.1.2.8
Multiplique 2 por 0.
[350750110]+[200020002⋅1]
Etapa 5.2.1.2.9
Multiplique 2 por 1.
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
[350750110]+[200020002]
Etapa 5.2.2
Adicione os elementos correspondentes.
[3+25+00+07+05+20+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3
Simplifique cada elemento.
Etapa 5.2.3.1
Some 3 e 2.
[55+00+07+05+20+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3.2
Some 5 e 0.
[550+07+05+20+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3.3
Some 0 e 0.
[5507+05+20+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3.4
Some 7 e 0.
[55075+20+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3.5
Some 5 e 2.
[550770+01+01+00+2]
Etapa 5.2.3.6
Some 0 e 0.
[5507701+01+00+2]
Etapa 5.2.3.7
Some 1 e 0.
[55077011+00+2]
Etapa 5.2.3.8
Some 1 e 0.
[550770110+2]
Etapa 5.2.3.9
Some 0 e 2.
[550770112]
[550770112]
[550770112]
Etapa 5.3
Encontre o espaço nulo quando λ=-2.
Etapa 5.3.1
Escreva como uma matriz aumentada para Ax=0.
[550077001120]
Etapa 5.3.2
Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.
Etapa 5.3.2.1
Multiplique cada elemento de R1 por 15 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
Etapa 5.3.2.1.1
Multiplique cada elemento de R1 por 15 para tornar a entrada em 1,1 um 1.
[5555050577001120]
Etapa 5.3.2.1.2
Simplifique R1.
[110077001120]
[110077001120]
Etapa 5.3.2.2
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
Etapa 5.3.2.2.1
Execute a operação de linha R2=R2-7R1 para transformar a entrada em 2,1 em 0.
[11007-7⋅17-7⋅10-7⋅00-7⋅01120]
Etapa 5.3.2.2.2
Simplifique R2.
[110000001120]
[110000001120]
Etapa 5.3.2.3
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
Etapa 5.3.2.3.1
Execute a operação de linha R3=R3-R1 para transformar a entrada em 3,1 em 0.
[110000001-11-12-00-0]
Etapa 5.3.2.3.2
Simplifique R3.
[110000000020]
[110000000020]
Etapa 5.3.2.4
Troque R3 por R2 para colocar uma entrada diferente de zero em 2,3.
[110000200000]
Etapa 5.3.2.5
Multiplique cada elemento de R2 por 12 para tornar a entrada em 2,3 um 1.
Etapa 5.3.2.5.1
Multiplique cada elemento de R2 por 12 para tornar a entrada em 2,3 um 1.
[1100020222020000]
Etapa 5.3.2.5.2
Simplifique R2.
[110000100000]
[110000100000]
[110000100000]
Etapa 5.3.3
Use a matriz de resultados para declarar a solução final ao sistema de equações.
x+y=0
z=0
0=0
Etapa 5.3.4
Escreva um vetor de solução resolvendo em termos das variáveis livres em cada linha.
[xyz]=[-yy0]
Etapa 5.3.5
Escreva a solução como uma combinação linear de vetores.
[xyz]=y[-110]
Etapa 5.3.6
Escreva como um conjunto de soluções.
{y[-110]|y∈R}
Etapa 5.3.7
A solução é o conjunto de vetores criados a partir das variáveis livres do sistema.
{[-110]}
{[-110]}
{[-110]}
Etapa 6
O subespaço próprio de A é a lista do espaço vetorial de cada autovalor.
{[001],[2563561],[-110]}
