Álgebra Exemplos

$f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 7 x^{2} + 5 x - 4$ como uma equação.

$y = 7 x^{2} + 5 x - 4$

Etapa 2

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1

Complete o quadrado de $7 x^{2} + 5 x - 4$ .

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Etapa 2.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 7$

$b = 5$

$c = - 4$

Etapa 2.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 7}$

Etapa 2.1.3.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$d = \frac{5}{14}$

Etapa 2.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 7}$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = - 4 - \frac{25}{4 \cdot 7}$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $7$ .

$e = - 4 - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.2

Para escrever $- 4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{28}{28}$ .

$e = - 4 \cdot \frac{28}{28} - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.3

Combine $- 4$ e $\frac{28}{28}$ .

$e = \frac{- 4 \cdot 28}{28} - \frac{25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 4 \cdot 28 - 25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.2.5.1

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$e = \frac{- 112 - 25}{28}$

Etapa 2.1.4.2.5.2

Subtraia $25$ de $- 112$ .

$e = \frac{- 137}{28}$

Etapa 2.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{137}{28}$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$ .

$7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Etapa 2.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = 7 {(x + \frac{5}{14})}^{2} - \frac{137}{28}$

Etapa 3

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 7$

$h = - \frac{5}{14}$

$k = - \frac{137}{28}$

Etapa 4

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 5

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Etapa 6

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 6.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 6.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 7}$

Etapa 6.3

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{1}{28}$

Etapa 7

Encontre o foco.

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Etapa 7.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Etapa 8

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - \frac{5}{14}$

Etapa 9

Encontre a diretriz.

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Etapa 9.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{69}{14}$

Etapa 10

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- \frac{5}{14}, - \frac{137}{28})$

Foco: $(- \frac{5}{14}, - \frac{34}{7})$

Eixo de simetria: $x = - \frac{5}{14}$

Diretriz: $y = - \frac{69}{14}$

Etapa 11

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