Álgebra Exemplos

$f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$

Etapa 1

Escreva $f (x) = - x^{2} - 5 x - 5$ como uma equação.

$y = - x^{2} - 5 x - 5$

Etapa 2

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1

Complete o quadrado de $- x^{2} - 5 x - 5$ .

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Etapa 2.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 5$

$c = - 5$

Etapa 2.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.3.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$d = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 2.1.3.2.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$d = \frac{5}{2}$

Etapa 2.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 5 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.4.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$e = - 5 - \frac{25}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = - 5 - \frac{25}{- 4}$

Etapa 2.1.4.2.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - 5 - - \frac{25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.1.4

Multiplique $- - \frac{25}{4}$ .

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Etapa 2.1.4.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = - 5 + 1 (\frac{25}{4})$

Etapa 2.1.4.2.1.4.2

Multiplique $\frac{25}{4}$ por $1$ .

$e = - 5 + \frac{25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.2

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$e = - 5 \cdot \frac{4}{4} + \frac{25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.3

Combine $- 5$ e $\frac{4}{4}$ .

$e = \frac{- 5 \cdot 4}{4} + \frac{25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 5 \cdot 4 + 25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.4.2.5.1

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$e = \frac{- 20 + 25}{4}$

Etapa 2.1.4.2.5.2

Some $- 20$ e $25$ .

$e = \frac{5}{4}$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$ .

$- {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 2.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - {(x + \frac{5}{2})}^{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 3

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = \frac{5}{4}$

Etapa 4

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 5

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Etapa 6

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 6.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 6.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 6.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 6.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 7

Encontre o foco.

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Etapa 7.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{5}{2}, 1)$

Etapa 8

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 9

Encontre a diretriz.

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Etapa 9.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 10

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- \frac{5}{2}, \frac{5}{4})$

Foco: $(- \frac{5}{2}, 1)$

Eixo de simetria: $x = - \frac{5}{2}$

Diretriz: $y = \frac{3}{2}$

Etapa 11

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