Álgebra Exemplos

$f (x) = x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 1

Escreva $f (x) = x^{2} - 2 x - 8$ como uma equação.

$y = x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 2

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1

Complete o quadrado de $x^{2} - 2 x - 8$ .

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Etapa 2.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = - 8$

Etapa 2.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 2.1.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

Etapa 2.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.1.3.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 8 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Etapa 2.1.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = - 8 - \frac{4}{4}$

Etapa 2.1.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = - 8 - 1 \cdot 1$

Etapa 2.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = - 8 - 1$

Etapa 2.1.4.2.2

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$e = - 9$

Etapa 2.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - 1)}^{2} - 9$ .

${(x - 1)}^{2} - 9$

Etapa 2.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = {(x - 1)}^{2} - 9$

Etapa 3

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 1$

$k = - 9$

Etapa 4

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 5

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, - 9)$

Etapa 6

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 6.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 6.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 6.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 7

Encontre o foco.

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Etapa 7.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - \frac{35}{4})$

Etapa 8

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 9

Encontre a diretriz.

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Etapa 9.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 9.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{37}{4}$

Etapa 10

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(1, - 9)$

Foco: $(1, - \frac{35}{4})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = - \frac{37}{4}$

Etapa 11

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