Álgebra Exemplos

{(z + 3)}^{3} = 2 i

${(z + 3)}^{3} = 2 i$

Etapa 1

Substitua

u

$u$ por

z + 3

$z + 3$ .

u^{3} = 2 i

$u^{3} = 2 i$

Etapa 2

Esta é a forma trigonométrica de um número complexo, em que

| z |

$| z |$ é o módulo, e

θ

$θ$ é o ângulo criado no plano complexo.

z = a + b i = | z | (cos (θ) + i sin (θ))

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Etapa 3

O módulo de um número complexo é a distância a partir da origem no plano complexo.

| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ em que

z = a + b i

$z = a + b i$

Etapa 4

Substitua os valores reais de

a = 0

$a = 0$ e

b = 2

$b = 2$ .

| z | = \sqrt{2^{2}}

$| z | = \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

| z | = 2

$| z | = 2$

Etapa 6

O ângulo do ponto no plano complexo é a tangente inversa da porção complexa sobre a porção real.

θ = arctan (\frac{2}{0})

$θ = \arctan (\frac{2}{0})$

Etapa 7

Como o argumento é indefinido e

b

$b$ é positivo, o ângulo do ponto no plano complexo é

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$

Etapa 8

Substitua os valores de

θ = \frac{π}{2}

$θ = \frac{π}{2}$ e

| z | = 2

$| z | = 2$ .

2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 9

Substitua o lado direito da equação pela forma trigonométrica.

u^{3} = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$u^{3} = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 10

Use o teorema de De Moivre para encontrar uma equação para

u

$u$ .

r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (cos (\frac{π}{2}) + i sin (\frac{π}{2}))

$r^{3} (c o s (3 θ) + i s i n (3 θ)) = 2 i = 2 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 11

Equacione o módulo da forma trigonométrica como

r^{3}

$r^{3}$ para encontrar o valor de

r

$r$ .

r^{3} = 2

$r^{3} = 2$

Etapa 12

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

r = \sqrt[3]{2}

$r = \sqrt[3]{2}$

Etapa 13

Encontre o valor aproximado de

r

$r$ .

r = 1.25992104

$r = 1.25992104$

Etapa 14

Encontre os valores possíveis de

θ

$θ$ .

c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)

$c o s (3 θ) = c o s (\frac{π}{2} + 2 π n)$ e

s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)

$s i n (3 θ) = s i n (\frac{π}{2} + 2 π n)$

Etapa 15

Encontrar todos os valores possíveis de

θ

$θ$ leva à equação

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π n$

Etapa 16

Encontre o valor de

θ

$θ$ para

r = 0

$r = 0$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (0)$

Etapa 17

Resolva a equação para

θ

$θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique

2 π (0)

$2 π (0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Multiplique

0

$0$ por

2

$2$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0 π

$3 θ = \frac{π}{2} + 0 π$

Etapa 17.1.1.2

Multiplique

0

$0$ por

π

$π$ .

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

3 θ = \frac{π}{2} + 0

$3 θ = \frac{π}{2} + 0$

Etapa 17.1.2

Some

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ e

0

$0$ .

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$

Etapa 17.2

Divida cada termo em

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ por

3

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Divida cada termo em

3 θ = \frac{π}{2}

$3 θ = \frac{π}{2}$ por

3

$3$ .

\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Cancele o fator comum de

3

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.2.1.2

Divida

θ

$θ$ por

1

$1$ .

θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}

$θ = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Etapa 17.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$θ = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 17.2.3.2

Multiplique

\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.2.1

Multiplique

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ por

\frac{1}{3}

$\frac{1}{3}$ .

θ = \frac{π}{2 \cdot 3}

$θ = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 17.2.3.2.2

Multiplique

2

$2$ por

3

$3$ .

θ = \frac{π}{6}

$θ = \frac{π}{6}$

θ = \frac{π}{6}

$θ = \frac{π}{6}$

θ = \frac{π}{6}

$θ = \frac{π}{6}$

θ = \frac{π}{6}

$θ = \frac{π}{6}$

θ = \frac{π}{6}

$θ = \frac{π}{6}$

Etapa 18

Use os valores de

θ

$θ$ e

r

$r$ para encontrar uma solução para a equação

u^{3} = 2 i

$u^{3} = 2 i$ .

u_{0} = 1.25992104 (cos (\frac{π}{6}) + i sin (\frac{π}{6}))

$u_{0} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

O valor exato de

cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ é

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i sin (\frac{π}{6}))

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 19.1.2

O valor exato de

$\sin (\frac{π}{6})$ é

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Etapa 19.1.3

Combine

$i$ e

$\frac{1}{2}$ .

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{0} = 1.25992104 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3

Multiplique

$1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.3.1

Combine

$1.25992104$ e

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{0} = \frac{1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.3.2

Multiplique

$1.25992104$ por

$\sqrt{3}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 19.4

Combine

$1.25992104$ e

$\frac{i}{2}$ .

$u_{0} = \frac{2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 19.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.5.1

Divida

$2.18224727$ por

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 19.5.2

Fatore

$1.25992104$ de

$1.25992104 i$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Etapa 19.5.3

Fatore

$2$ de

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Etapa 19.5.4

Separe as frações.

$u_{0} = 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 19.5.5

Divida

$1.25992104$ por

$2$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Etapa 19.5.6

Divida

$i$ por

$1$ .

$u_{0} = 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 20

Substitua

$z + 3$ por

$u$ para calcular o valor de

$z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{0} = - 3 + 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 21

Encontre o valor de

$θ$ para

$r = 1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (1)$

Etapa 22

Resolva a equação para

$θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.1.1

Multiplique

$2$ por

$1$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 22.1.2

Para escrever

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 22.1.3

Combine

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 θ = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

Etapa 22.1.5

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$3 θ = \frac{π + 4 π}{2}$

Etapa 22.1.6

Some

$π$ e

$4 π$ .

$3 θ = \frac{5 π}{2}$

Etapa 22.2

Divida cada termo em

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ por

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.1

Divida cada termo em

$3 θ = \frac{5 π}{2}$ por

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.2.1.2

Divida

$θ$ por

$1$ .

$θ = \frac{\frac{5 π}{2}}{3}$

Etapa 22.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 22.2.3.2

Multiplique

$\frac{5 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 22.2.3.2.1

Multiplique

$\frac{5 π}{2}$ por

$\frac{1}{3}$ .

$θ = \frac{5 π}{2 \cdot 3}$

Etapa 22.2.3.2.2

Multiplique

$2$ por

$3$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Etapa 23

Use os valores de

$θ$ e

$r$ para encontrar uma solução para a equação

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{1} = 1.25992104 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.2

O valor exato de

$\cos (\frac{π}{6})$ é

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 24.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

Etapa 24.1.4

O valor exato de

$\sin (\frac{π}{6})$ é

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

Etapa 24.1.5

Combine

$i$ e

$\frac{1}{2}$ .

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

Etapa 24.2

Aplique a propriedade distributiva.

$u_{1} = 1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3

Multiplique

$1.25992104 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.3.1

Multiplique

$- 1$ por

$1.25992104$ .

$u_{1} = - 1.25992104 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3.2

Combine

$- 1.25992104$ e

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 1.25992104 \sqrt{3}}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.3.3

Multiplique

$- 1.25992104$ por

$\sqrt{3}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + 1.25992104 (\frac{i}{2})$

Etapa 24.4

Combine

$1.25992104$ e

$\frac{i}{2}$ .

$u_{1} = \frac{- 2.18224727}{2} + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 24.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 24.5.1

Divida

$- 2.18224727$ por

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 i}{2}$

Etapa 24.5.2

Fatore

$1.25992104$ de

$1.25992104 i$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2}$

Etapa 24.5.3

Fatore

$2$ de

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104 (i)}{2 (1)}$

Etapa 24.5.4

Separe as frações.

$u_{1} = - 1.09112363 + \frac{1.25992104}{2} \cdot \frac{i}{1}$

Etapa 24.5.5

Divida

$1.25992104$ por

$2$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 (\frac{i}{1})$

Etapa 24.5.6

Divida

$i$ por

$1$ .

$u_{1} = - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 25

Substitua

$z + 3$ por

$u$ para calcular o valor de

$z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{1} = - 3 - 1.09112363 + 0.62996052 i$

Etapa 26

Encontre o valor de

$θ$ para

$r = 2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 2 π (2)$

Etapa 27

Resolva a equação para

$θ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.1.1

Multiplique

$2$ por

$2$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π$

Etapa 27.1.2

Para escrever

$4 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + 4 π \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 27.1.3

Combine

$4 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$3 θ = \frac{π}{2} + \frac{4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 θ = \frac{π + 4 π \cdot 2}{2}$

Etapa 27.1.5

Multiplique

$2$ por

$4$ .

$3 θ = \frac{π + 8 π}{2}$

Etapa 27.1.6

Some

$π$ e

$8 π$ .

$3 θ = \frac{9 π}{2}$

Etapa 27.2

Divida cada termo em

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ por

$3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.1

Divida cada termo em

$3 θ = \frac{9 π}{2}$ por

$3$ .

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 θ}{3} = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.2.1.2

Divida

$θ$ por

$1$ .

$θ = \frac{\frac{9 π}{2}}{3}$

Etapa 27.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$θ = \frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2

Cancele o fator comum de

$3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 27.2.3.2.1

Fatore

$3$ de

$9 π$ .

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$θ = \frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Etapa 27.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Etapa 28

Use os valores de

$θ$ e

$r$ para encontrar uma solução para a equação

$u^{3} = 2 i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29

Converta a solução em forma retangular.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29.1.2

O valor exato de

$\cos (\frac{π}{2})$ é

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \sin (\frac{3 π}{2}))$

Etapa 29.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- \sin (\frac{π}{2})))$

Etapa 29.1.4

O valor exato de

$\sin (\frac{π}{2})$ é

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i (- 1 \cdot 1))$

Etapa 29.1.5

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 + i \cdot - 1)$

Etapa 29.1.6

Mova

$- 1$ para a esquerda de

$i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - 1 \cdot i)$

Etapa 29.1.7

Reescreva

$- 1 i$ como

$- i$ .

$u_{2} = 1.25992104 (0 - i)$

Etapa 29.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 29.2.1

Subtraia

$i$ de

$0$ .

$u_{2} = 1.25992104 (- i)$

Etapa 29.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$1.25992104$ .

$u_{2} = - 1.25992104 i$

Etapa 30

Substitua

$z + 3$ por

$u$ para calcular o valor de

$z$ depois do deslocamento esquerdo.

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

Etapa 31

Essas são as soluções complexas para

$u^{3} = 2 i$ .

$z_{0} = - 1.90887636 + 0.62996052 i$

$z_{1} = - 4.09112363 + 0.62996052 i$

$z_{2} = - 3 - 1.25992104 i$

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