Álgebra Exemplos

(0, 1)

$(0, 1)$ ,

(6, 1)

$(6, 1)$ ,

(8, 1)

$(8, 1)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma elipse.

Equação de elipse horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de elipse vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

a

$a$ é a distância entre o vértice

(8, 1)

$(8, 1)$ e o ponto central

(0, 1)

$(0, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(8 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia

$0$ de

$8$ .

$a = \sqrt{8^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve

$8$ à potência de

$2$ .

$a = \sqrt{64 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$a = \sqrt{64 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$a = \sqrt{64 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some

$64$ e

$0$ .

$a = \sqrt{64}$

Etapa 2.3.6

Reescreva

$64$ como

$8^{2}$ .

$a = \sqrt{8^{2}}$

Etapa 2.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$a = 8$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco

$(6, 1)$ e o centro

$(0, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{(6 - 0)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

$0$ de

$6$ .

$c = \sqrt{6^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve

$6$ à potência de

$2$ .

$c = \sqrt{36 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar

$0$ a qualquer potência positiva produz

$0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some

$36$ e

$0$ .

$c = \sqrt{36}$

Etapa 3.3.6

Reescreva

$36$ como

$6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 6$

Etapa 4

Usando a equação

$c^{2} = a^{2} - b^{2}$ , substitua

$8$ por

$a$ e

$6$ por

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$ .

${(8)}^{2} - b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.2

Eleve

$8$ à potência de

$2$ .

$64 - b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.3

Eleve

$6$ à potência de

$2$ .

$64 - b^{2} = 36$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Subtraia

$64$ dos dois lados da equação.

$- b^{2} = 36 - 64$

Etapa 4.4.2

Subtraia

$64$ de

$36$ .

$- b^{2} = - 28$

Etapa 4.5

Divida cada termo em

$- b^{2} = - 28$ por

$- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Divida cada termo em

$- b^{2} = - 28$ por

$- 1$ .

$\frac{- b^{2}}{- 1} = \frac{- 28}{- 1}$

Etapa 4.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{b^{2}}{1} = \frac{- 28}{- 1}$

Etapa 4.5.2.2

Divida

$b^{2}$ por

$1$ .

$b^{2} = \frac{- 28}{- 1}$

Etapa 4.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Divida

$- 28$ por

$- 1$ .

$b^{2} = 28$

Etapa 4.6

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \pm \sqrt{28}$

Etapa 4.7

Simplifique

$\pm \sqrt{28}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Reescreva

$28$ como

$2^{2} \cdot 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1

Fatore

$4$ de

$28$ .

$b = \pm \sqrt{4 (7)}$

Etapa 4.7.1.2

Reescreva

$4$ como

$2^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}$

Etapa 4.7.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = \pm 2 \sqrt{7}$

Etapa 4.8

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.8.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = 2 \sqrt{7}$

Etapa 4.8.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - 2 \sqrt{7}$

Etapa 4.8.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = 2 \sqrt{7}, - 2 \sqrt{7}$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = 2 \sqrt{7}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco

$(6, 1)$ e o centro

$(0, 1)$ determina se a elipse é vertical ou horizontal. Se a inclinação for

$0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em

$y$ sobre a variação em

$x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em

$x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em

$y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de

$x$ e

$y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{1 - (1)}{0 - (6)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$m = \frac{1 - 1}{0 - (6)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia

$1$ de

$1$ .

$m = \frac{0}{0 - (6)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$m = \frac{0}{0 - 6}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia

$6$ de

$0$ .

$m = \frac{0}{- 6}$

Etapa 6.4.3

Divida

$0$ por

$- 6$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma elipse horizontal é

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores

$h = 0$ ,

$k = 1$ ,

$a = 8$ e

$b = 2 \sqrt{7}$ em

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da elipse

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (0))}^{2}}{{(8)}^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$0$ .

$\frac{{(x + 0)}^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.1.2

Some

$x$ e

$0$ .

$\frac{x^{2}}{8^{2}} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Eleve

$8$ à potência de

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(2 \sqrt{7})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.1

Aplique a regra do produto a

$2 \sqrt{7}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{2^{2} {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.2

Eleve

$2$ à potência de

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {\sqrt{7}}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.3

Reescreva

${\sqrt{7}}^{2}$ como

$7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{7}$ como

$7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.4.3.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.3.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Etapa 8.4.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{4 \cdot 7} = 1$

Etapa 8.5

Multiplique

$4$ por

$7$ .

$\frac{x^{2}}{64} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{28} = 1$

Etapa 9

Insira SEU problema