Álgebra Exemplos

$(5, 1)$ , $(4, 1)$ , $(- 5, 1)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma hipérbole.

Equação de hipérbole horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de hipérbole vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

$a$ é a distância entre o vértice $(4, 1)$ e o ponto central $(5, 1)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $5$ de $4$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Etapa 2.3.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$a = 1$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco $(- 5, 1)$ e o centro $(5, 1)$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $5$ de $- 5$ .

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$c = \sqrt{100 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some $100$ e $0$ .

$c = \sqrt{100}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$c = \sqrt{10^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 10$

Etapa 4

Usando a equação $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , substitua $1$ por $a$ e $10$ por $c$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como ${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Etapa 4.3

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$1 + b^{2} = 100$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$b^{2} = 100 - 1$

Etapa 4.4.2

Subtraia $1$ de $100$ .

$b^{2} = 99$

Etapa 4.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \pm \sqrt{99}$

Etapa 4.6

Simplifique $\pm \sqrt{99}$ .

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Etapa 4.6.1

Reescreva $99$ como $3^{2} \cdot 11$ .

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Etapa 4.6.1.1

Fatore $9$ de $99$ .

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Etapa 4.6.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Etapa 4.6.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = 3 \sqrt{11}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco $(- 5, 1)$ e o centro $(5, 1)$ determina se a hipérbole é vertical ou horizontal. Se a inclinação for $0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

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Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em $y$ sobre a variação em $x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em $x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em $y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de $x$ e $y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Etapa 6.4.2.2

Some $5$ e $5$ .

$m = \frac{0}{10}$

Etapa 6.4.3

Divida $0$ por $10$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma hipérbole horizontal é $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores $h = 5$ , $k = 1$ , $a = 1$ e $b = 3 \sqrt{11}$ em $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da hipérbole $\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da hipérbole.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Divida ${(x - 5)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.5.1

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.3

Reescreva ${\sqrt{11}}^{2}$ como $11$ .

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Etapa 8.5.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{11}$ como $11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.5.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Etapa 8.5.3.5

Avalie o expoente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Etapa 8.6

Multiplique $9$ por $11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Etapa 9

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