Álgebra Exemplos

$(2, 3)$ , $(1, 3)$ , $(- 4, 3)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma hipérbole.

Equação de hipérbole horizontal $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de hipérbole vertical $\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

$a$ é a distância entre o vértice $(1, 3)$ e o ponto central $(2, 3)$ .

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Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$a = \sqrt{{(1 - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $2$ de $1$ .

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$a = \sqrt{1 + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$a = \sqrt{1 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some $1$ e $0$ .

$a = \sqrt{1}$

Etapa 2.3.6

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$a = 1$

Etapa 3

$c$ é a distância entre o foco $(- 4, 3)$ e o centro $(2, 3)$ .

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Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

$c = \sqrt{{((- 4) - 2)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Subtraia $2$ de $- 4$ .

$c = \sqrt{{(- 6)}^{2} + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$c = \sqrt{36 + {(3 - 3)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$c = \sqrt{36 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$c = \sqrt{36 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some $36$ e $0$ .

$c = \sqrt{36}$

Etapa 3.3.6

Reescreva $36$ como $6^{2}$ .

$c = \sqrt{6^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$c = 6$

Etapa 4

Usando a equação $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , substitua $1$ por $a$ e $6$ por $c$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como ${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$ .

${(1)}^{2} + b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + b^{2} = 6^{2}$

Etapa 4.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$1 + b^{2} = 36$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.4.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$b^{2} = 36 - 1$

Etapa 4.4.2

Subtraia $1$ de $36$ .

$b^{2} = 35$

Etapa 4.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$b = \pm \sqrt{35}$

Etapa 4.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$b = \sqrt{35}$

Etapa 4.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$b = - \sqrt{35}$

Etapa 4.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$b = \sqrt{35}, - \sqrt{35}$

Etapa 5

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

$b = \sqrt{35}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco $(- 4, 3)$ e o centro $(2, 3)$ determina se a hipérbole é vertical ou horizontal. Se a inclinação for $0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

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Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em $y$ sobre a variação em $x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em $x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em $y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de $x$ e $y$ na equação para encontrar a inclinação.

$m = \frac{3 - (3)}{2 - (- 4)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$m = \frac{3 - 3}{2 - (- 4)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$m = \frac{0}{2 - (- 4)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$m = \frac{0}{2 + 4}$

Etapa 6.4.2.2

Some $2$ e $4$ .

$m = \frac{0}{6}$

Etapa 6.4.3

Divida $0$ por $6$ .

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma hipérbole horizontal é $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores $h = 2$ , $k = 3$ , $a = 1$ e $b = \sqrt{35}$ em $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da hipérbole $\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (2))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da hipérbole.

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Etapa 8.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Divida ${(x - 2)}^{2}$ por $1$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - (3))}^{2}}{{(\sqrt{35})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{\sqrt{35}}^{2}} = 1$

Etapa 8.5

Reescreva ${\sqrt{35}}^{2}$ como $35$ .

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Etapa 8.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{35}$ como $35^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{{(35^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.5.4.1

Cancele o fator comum.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.4.2

Reescreva a expressão.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Etapa 8.5.5

Avalie o expoente.

${(x - 2)}^{2} - \frac{{(y - 3)}^{2}}{35} = 1$

Etapa 9

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