Álgebra Exemplos

(5, 1)

$(5, 1)$ ,

(4, 1)

$(4, 1)$ ,

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$

Etapa 1

Há duas equações gerais para uma hipérbole.

Equação de hipérbole horizontal

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Equação de hipérbole vertical

\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 2

a

$a$ é a distância entre o vértice

(4, 1)

$(4, 1)$ e o ponto central

(5, 1)

$(5, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 2.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(4 - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia

5

$5$ de

4

$4$ .

a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{{(- 1)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Eleve

- 1

$- 1$ à potência de

2

$2$ .

a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}

$a = \sqrt{1 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

a = \sqrt{1 + 0^{2}}

$a = \sqrt{1 + 0^{2}}$

Etapa 2.3.4

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

a = \sqrt{1 + 0}

$a = \sqrt{1 + 0}$

Etapa 2.3.5

Some

1

$1$ e

0

$0$ .

a = \sqrt{1}

$a = \sqrt{1}$

Etapa 2.3.6

Qualquer raiz de

1

$1$ é

1

$1$ .

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

a = 1

$a = 1$

Etapa 3

c

$c$ é a distância entre o foco

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$ e o centro

(5, 1)

$(5, 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a fórmula da distância para determinar a distância entre os dois pontos.

Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}_{2}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}_{2}^{2}}

$Distância = \sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$

Etapa 3.2

Substitua os valores reais dos pontos na fórmula da distância.

c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{((- 5) - 5)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Subtraia

5

$5$ de

- 5

$- 5$ .

c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{{(- 10)}^{2} + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Eleve

- 10

$- 10$ à potência de

2

$2$ .

c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}

$c = \sqrt{100 + {(1 - 1)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

c = \sqrt{100 + 0^{2}}

$c = \sqrt{100 + 0^{2}}$

Etapa 3.3.4

Elevar

0

$0$ a qualquer potência positiva produz

0

$0$ .

c = \sqrt{100 + 0}

$c = \sqrt{100 + 0}$

Etapa 3.3.5

Some

100

$100$ e

0

$0$ .

c = \sqrt{100}

$c = \sqrt{100}$

Etapa 3.3.6

Reescreva

100

$100$ como

10^{2}

$10^{2}$ .

c = \sqrt{10^{2}}

$c = \sqrt{10^{2}}$

Etapa 3.3.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

c = 10

$c = 10$

Etapa 4

Usando a equação

c^{2} = a^{2} + b^{2}

$c^{2} = a^{2} + b^{2}$ , substitua

1

$1$ por

a

$a$ e

10

$10$ por

c

$c$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reescreva a equação como

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$ .

{(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}

${(1)}^{2} + b^{2} = 10^{2}$

Etapa 4.2

Um elevado a qualquer potência é um.

1 + b^{2} = 10^{2}

$1 + b^{2} = 10^{2}$

Etapa 4.3

Eleve

10

$10$ à potência de

2

$2$ .

1 + b^{2} = 100

$1 + b^{2} = 100$

Etapa 4.4

Mova todos os termos que não contêm

b

$b$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Subtraia

1

$1$ dos dois lados da equação.

b^{2} = 100 - 1

$b^{2} = 100 - 1$

Etapa 4.4.2

Subtraia

1

$1$ de

100

$100$ .

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

b^{2} = 99

$b^{2} = 99$

Etapa 4.5

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

b = \pm \sqrt{99}

$b = \pm \sqrt{99}$

Etapa 4.6

Simplifique

\pm \sqrt{99}

$\pm \sqrt{99}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Reescreva

99

$99$ como

3^{2} \cdot 11

$3^{2} \cdot 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1.1

Fatore

9

$9$ de

99

$99$ .

b = \pm \sqrt{9 (11)}

$b = \pm \sqrt{9 (11)}$

Etapa 4.6.1.2

Reescreva

9

$9$ como

3^{2}

$3^{2}$ .

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}

$b = \pm \sqrt{3^{2} \cdot 11}$

Etapa 4.6.2

Elimine os termos abaixo do radical.

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

b = \pm 3 \sqrt{11}

$b = \pm 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Primeiro, use o valor positivo de

\pm

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7.2

Depois, use o valor negativo de

\pm

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

b = - 3 \sqrt{11}

$b = - 3 \sqrt{11}$

Etapa 4.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}, - 3 \sqrt{11}$

Etapa 5

b

$b$ é uma distância, o que significa que deve ser um número positivo.

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$

Etapa 6

A inclinação da linha entre o foco

(- 5, 1)

$(- 5, 1)$ e o centro

(5, 1)

$(5, 1)$ determina se a hipérbole é vertical ou horizontal. Se a inclinação for

0

$0$ , o gráfico será horizontal. Se a inclinação for indefinida, o gráfico será vertical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

A inclinação é igual à variação em

y

$y$ sobre a variação em

x

$x$ ou deslocamento vertical sobre deslocamento horizontal.

m = \frac{alteração em y}{alteração em x}

$m = \frac{alteração em y}{alteração em x}$

Etapa 6.2

A variação em

x

$x$ é igual à diferença nas coordenadas x (de deslocamento horizontal), e a variação em

y

$y$ é igual à diferença nas coordenadas y (de deslocamento vertical).

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Etapa 6.3

Substitua os valores de

x

$x$ e

y

$y$ na equação para encontrar a inclinação.

m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}

$m = \frac{1 - (1)}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}

$m = \frac{1 - 1}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4.1.2

Subtraia

1

$1$ de

1

$1$ .

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

m = \frac{0}{5 - (- 5)}

$m = \frac{0}{5 - (- 5)}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 5

$- 5$ .

m = \frac{0}{5 + 5}

$m = \frac{0}{5 + 5}$

Etapa 6.4.2.2

Some

5

$5$ e

5

$5$ .

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

m = \frac{0}{10}

$m = \frac{0}{10}$

Etapa 6.4.3

Divida

0

$0$ por

10

$10$ .

m = 0

$m = 0$

m = 0

$m = 0$

Etapa 6.5

A equação geral de uma hipérbole horizontal é

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ .

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 7

Substitua os valores

h = 5

$h = 5$ ,

k = 1

$k = 1$ ,

a = 1

$a = 1$ e

b = 3 \sqrt{11}

$b = 3 \sqrt{11}$ em

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$ para obter a equação da hipérbole

\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$ .

$\frac{{(x - (5))}^{2}}{{(1)}^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8

Simplifique para encontrar a equação final da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique

$- 1$ por

$5$ .

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1^{2}} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{{(x - 5)}^{2}}{1} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.3

Divida

${(x - 5)}^{2}$ por

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - (1))}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{{(3 \sqrt{11})}^{2}} = 1$

Etapa 8.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.1

Aplique a regra do produto a

$3 \sqrt{11}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{3^{2} {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.2

Eleve

$3$ à potência de

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {\sqrt{11}}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.3

Reescreva

${\sqrt{11}}^{2}$ como

$11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{11}$ como

$11^{\frac{1}{2}}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 {(11^{\frac{1}{2}})}^{2}} = 1$

Etapa 8.5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{1}{2} \cdot 2}} = 1$

Etapa 8.5.3.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.3.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11^{\frac{2}{2}}} = 1$

Etapa 8.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Etapa 8.5.3.5

Avalie o expoente.

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{9 \cdot 11} = 1$

Etapa 8.6

Multiplique

$9$ por

$11$ .

${(x - 5)}^{2} - \frac{{(y - 1)}^{2}}{99} = 1$

Etapa 9

Insira SEU problema