Álgebra Exemplos

f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1

Fatore

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ .

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Etapa 1.1

Fatore

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Etapa 1.1.3

Substitua

1

$1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a

0

$0$ . Portanto,

1

$1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 1.1.3.1

Substitua

1

$1$ no polinômio.

1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.2

Eleve

1

$1$ à potência de

3

$3$ .

1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1^{2} + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.3

Eleve

1

$1$ à potência de

2

$2$ .

1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6

$1 + 4 \cdot 1 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique

4

$4$ por

1

$1$ .

1 + 4 + 1 - 6

$1 + 4 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.5

Some

1

$1$ e

4

$4$ .

5 + 1 - 6

$5 + 1 - 6$

Etapa 1.1.3.6

Some

5

$5$ e

1

$1$ .

6 - 6

$6 - 6$

Etapa 1.1.3.7

Subtraia

6

$6$ de

6

$6$ .

0

$0$

0

$0$

Etapa 1.1.4

Como

1

$1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por

x - 1

$x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x - 6}{x - 1}$

Etapa 1.1.5

Divida

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ por

x - 1

$x - 1$ .

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Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de

0

$0$ .

x

$x$

1

$1$

x^{3}

$x^{3}$

4 x^{2}

$4 x^{2}$

x

$x$

6

$6$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

x^{3}

$x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

					$x^{2}$ $x^{2}$
	$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			+	$x^{3}$ $x^{3}$	-	$x^{2}$ $x^{2}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

x^{3} - x^{2}

$x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

5 x^{2}

$5 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	-	$5 x$ $5 x$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

5 x^{2} - 5 x

$5 x^{2} - 5 x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo

6 x

$6 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor

x

$x$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em

6 x - 6

$6 x - 6$ .

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$ $x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$	+	$6$ $6$
$x$ $x$	-	$1$ $1$		$x^{3}$ $x^{3}$	+	$4 x^{2}$ $4 x^{2}$	+	$x$ $x$	-	$6$ $6$
			-	$x^{3}$ $x^{3}$	+	$x^{2}$ $x^{2}$
					+	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$x$ $x$
					-	$5 x^{2}$ $5 x^{2}$	+	$5 x$ $5 x$
							+	$6 x$ $6 x$	-	$6$ $6$
							-	$6 x$ $6 x$	+	$6$ $6$
										$0$ $0$

Etapa 1.1.5.16

Já que o resto é

0

$0$ , a resposta final é o quociente.

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$

Etapa 1.1.6

Escreva

x^{3} + 4 x^{2} + x - 6

$x^{3} + 4 x^{2} + x - 6$ como um conjunto de fatores.

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x^{2} + 5 x + 6)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1.2

Fatore

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1

Fatore

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 1.2.1.1

Considere a forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

c

$c$ e cuja soma é

b

$b$ . Neste caso, cujo produto é

6

$6$ e cuja soma é

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Etapa 1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) ((x + 2) (x + 3))}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{x^{2} + 5 x + 6}$

Etapa 2

Fatore

x^{2} + 5 x + 6

$x^{2} + 5 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 2.1

Considere a forma

x^{2} + b x + c

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

c

$c$ e cuja soma é

b

$b$ . Neste caso, cujo produto é

6

$6$ e cuja soma é

5

$5$ .

2, 3

$2, 3$

Etapa 2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Etapa 3

Cancele o fator comum de

x + 2

$x + 2$ .

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 2) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de

x + 3

$x + 3$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}

$f (x) = \frac{(x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Etapa 4.2

Divida

x - 1

$x - 1$ por

1

$1$ .

f (x) = x - 1

$f (x) = x - 1$

f (x) = x - 1

$f (x) = x - 1$

Etapa 5

Para encontrar os furos no gráfico, observe os fatores denominadores que foram cancelados.

x + 2, x + 3

$x + 2, x + 3$

Etapa 6

Para encontrar as coordenadas dos furos, defina cada fator que foi cancelado igual a

0

$0$ , resolva e substitua novamente por

x - 1

$x - 1$ .

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Etapa 6.1

Defina

x + 2

$x + 2$ como igual a

0

$0$ .

x + 2 = 0

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia

2

$2$ dos dois lados da equação.

x = - 2

$x = - 2$

Etapa 6.3

Substitua

- 2

$- 2$ por

x

$x$ em

x - 1

$x - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Substitua

- 2

$- 2$ por

x

$x$ para encontrar a coordenada

y

$y$ do furo.

- 2 - 1

$- 2 - 1$

Etapa 6.3.2

Subtraia

1

$1$ de

- 2

$- 2$ .

- 3

$- 3$

- 3

$- 3$

Etapa 6.4

Defina

x + 3

$x + 3$ como igual a

0

$0$ .

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

Etapa 6.5

Subtraia

3

$3$ dos dois lados da equação.

x = - 3

$x = - 3$

Etapa 6.6

Substitua

- 3

$- 3$ por

x

$x$ em

x - 1

$x - 1$ e simplifique.

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Etapa 6.6.1

Substitua

- 3

$- 3$ por

x

$x$ para encontrar a coordenada

y

$y$ do furo.

- 3 - 1

$- 3 - 1$

Etapa 6.6.2

Subtraia

1

$1$ de

- 3

$- 3$ .

- 4

$- 4$

- 4

$- 4$

Etapa 6.7

Os furos no gráfico são os pontos em que qualquer um dos fatores cancelados é igual a

0

$0$ .

(- 2, - 3), (- 3, - 4)

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

(- 2, - 3), (- 3, - 4)

$(- 2, - 3), (- 3, - 4)$

Etapa 7

Insira SEU problema