Álgebra Exemplos

(2, 6, - 8)

$(2, 6, - 8)$ ,

(- 12, - 2, - 1)

$(- 12, - 2, - 1)$ ,

(- 2, 8, 9)

$(- 2, 8, 9)$ ,

(3, 0, 0)

$(3, 0, 0)$

Etapa 1

Considerando os pontos

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$ e

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$ , encontre um plano que contenha os pontos

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$ e

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$ e que seja paralelo à reta

CD

$CD$ .

A = (2, 6, - 8)

$A = (2, 6, - 8)$

B = (- 12, - 2, - 1)

$B = (- 12, - 2, - 1)$

C = (- 2, 8, 9)

$C = (- 2, 8, 9)$

D = (3, 0, 0)

$D = (3, 0, 0)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos

C

$C$ e

D

$D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto

C

$C$ e subtraia-os do ponto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

V_{CD}

$V_{CD}$ para a linha

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩

$V_{CD} = ⟨ 5, - 8, - 9 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos

A

$A$ e

B

$B$ usando o mesmo método.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores

$x$ ,

$y$ e

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

$V_{AB}$ para a linha

$AB$ .

$V_{AB} = ⟨ - 14, - 8, 7 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos

$A$ e

$B$ e com o vetor de direção

$V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha

$C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha

$C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial

$V_{A B}$ x

$V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ - 14 & - 8 & 7 \\ 5 & - 8 & - 9 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

$0$ . Se não houver elementos

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

$1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para

$a_{11}$ é o determinante com a linha

$1$ e a coluna

$1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento

$a_{11}$ por seu cofator.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para

$a_{12}$ é o determinante com a linha

$1$ e a coluna

$2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento

$a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para

$a_{13}$ é o determinante com a linha

$1$ e a coluna

$3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento

$a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

$i | \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} | - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie

$| \begin{array}{c} - 8 & 7 \\ - 8 & - 9 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (- 8 \cdot - 9 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique

$- 8$ por

$- 9$ .

$i (72 - (- 8 \cdot 7)) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique

$- (- 8 \cdot 7)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique

$- 8$ por

$7$ .

$i (72 - - 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 56$ .

$i (72 + 56) - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some

$72$ e

$56$ .

$i \cdot 128 - | \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} | j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie

$| \begin{array}{c} - 14 & 7 \\ 5 & - 9 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - (- 14 \cdot - 9 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique

$- 14$ por

$- 9$ .

$i \cdot 128 - (126 - 5 \cdot 7) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique

$- 5$ por

$7$ .

$i \cdot 128 - (126 - 35) j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia

$35$ de

$126$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + | \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie

$| \begin{array}{c} - 14 & - 8 \\ 5 & - 8 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (- 14 \cdot - 8 - 5 \cdot - 8) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique

$- 14$ por

$- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 - 5 \cdot - 8) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique

$- 5$ por

$- 8$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + (112 + 40) k$

Etapa 7.4.2.2

Some

$112$ e

$40$ .

$i \cdot 128 - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova

$128$ para a esquerda de

$i$ .

$128 \cdot i - 1 \cdot 91 j + 152 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique

$- 1$ por

$91$ .

$128 i - 91 j + 152 k$

Etapa 8

Resolva a expressão

$(128) x + (- 91) y + (152) z$ no ponto

$A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique

$128$ por

$2$ .

$256 + (- 91) \cdot 6 + (152) \cdot - 8$

Etapa 8.1.2

Multiplique

$- 91$ por

$6$ .

$256 - 546 + (152) \cdot - 8$

Etapa 8.1.3

Multiplique

$152$ por

$- 8$ .

$256 - 546 - 1216$

Etapa 8.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Subtraia

$546$ de

$256$ .

$- 290 - 1216$

Etapa 8.2.2

Subtraia

$1216$ de

$- 290$ .

$- 1506$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$ .

$(128) x + (- 91) y + (152) z = - 1506$

Etapa 10

Multiplique

$152$ por

$z$ .

$128 x - 91 y + 152 z = - 1506$

Insira SEU problema