Álgebra Exemplos

(1, 2, - 3)

$(1, 2, - 3)$ ,

(3, 5, - 3)

$(3, 5, - 3)$ ,

(1, - 1, 1)

$(1, - 1, 1)$ ,

(- 2, - 2, - 2)

$(- 2, - 2, - 2)$

Etapa 1

Considerando os pontos

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$ e

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$ , encontre um plano que contenha os pontos

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$ e

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$ e que seja paralelo à reta

CD

$CD$ .

A = (1, 2, - 3)

$A = (1, 2, - 3)$

B = (3, 5, - 3)

$B = (3, 5, - 3)$

C = (1, - 1, 1)

$C = (1, - 1, 1)$

D = (- 2, - 2, - 2)

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos

C

$C$ e

D

$D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto

C

$C$ e subtraia-os do ponto

D

$D$ .

V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

V_{CD}

$V_{CD}$ para a linha

CD

$CD$ .

V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos

A

$A$ e

B

$B$ usando o mesmo método.

V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores

x

$x$ ,

y

$y$ e

z

$z$ e simplifique para obter o vetor de direção

V_{AB}

$V_{AB}$ para a linha

AB

$AB$ .

V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos

A

$A$ e

B

$B$ e com o vetor de direção

V_{A B}

$V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha

C D

$C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha

C D

$C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial

V_{A B}

$V_{A B}$ x

V_{C D}

$V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} i & j & k 2 & 3 & 0 - 3 & - 1 & - 3 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos

0

$0$ . Se não houver elementos

0

$0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha

1

$1$ por seu cofator e some.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição

-

$-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para

a_{11}

$a_{11}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

1

$1$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento

a_{11}

$a_{11}$ por seu cofator.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para

a_{12}

$a_{12}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

2

$2$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento

a_{12}

$a_{12}$ por seu cofator.

- ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para

a_{13}

$a_{13}$ é o determinante com a linha

1

$1$ e a coluna

3

$3$ excluídas.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento

a_{13}

$a_{13}$ por seu cofator.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 0 - 1 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i (3 \cdot - 3 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique

3

$3$ por

- 3

$- 3$ .

i (- 9 - - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique

- - 0

$- - 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i (- 9 - 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i (- 9 + 0) - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some

- 9

$- 9$ e

0

$0$ .

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 0 - 3 & - 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

- 3

$- 3$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique

- (- 3 \cdot 0)

$- (- 3 \cdot 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.2.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Some

- 6

$- 6$ e

0

$0$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

i \cdot - 9 - - 6 j + ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ k

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 2 & 3 - 3 & - 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz

2 \times 2

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique

2

$2$ por

- 1

$- 1$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique

- (- 3 \cdot 3)

$- (- 3 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.2.1

Multiplique

- 3

$- 3$ por

3

$3$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Etapa 7.4.2.1.2.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 9

$- 9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Etapa 7.4.2.2

Some

- 2

$- 2$ e

9

$9$ .

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova

- 9

$- 9$ para a esquerda de

i

$i$ .

- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique

- 1

$- 1$ por

- 6

$- 6$ .

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

- 9 i + 6 j + 7 k

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Etapa 8

Resolva a expressão

(- 9) x + (6) y + (7) z

$(- 9) x + (6) y + (7) z$ no ponto

A

$A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Multiplique

- 9

$- 9$ por

1

$1$ .

- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Etapa 8.1.2

Multiplique

6

$6$ por

2

$2$ .

- 9 + 12 + (7) \cdot - 3

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Etapa 8.1.3

Multiplique

7

$7$ por

- 3

$- 3$ .

- 9 + 12 - 21

$- 9 + 12 - 21$

- 9 + 12 - 21

$- 9 + 12 - 21$

Etapa 8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Some

- 9

$- 9$ e

12

$12$ .

3 - 21

$3 - 21$

Etapa 8.2.2

Subtraia

21

$21$ de

3

$3$ .

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

- 18

$- 18$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é

(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Etapa 10

Multiplique

7

$7$ por

z

$z$ .

- 9 x + 6 y + 7 z = - 18

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

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