Álgebra Exemplos

$(1, 2, - 3)$ , $(3, 5, - 3)$ , $(1, - 1, 1)$ , $(- 2, - 2, - 2)$

Etapa 1

Considerando os pontos $C = (1, - 1, 1)$ e $D = (- 2, - 2, - 2)$ , encontre um plano que contenha os pontos $A = (1, 2, - 3)$ e $B = (3, 5, - 3)$ e que seja paralelo à reta $CD$ .

$A = (1, 2, - 3)$

$B = (3, 5, - 3)$

$C = (1, - 1, 1)$

$D = (- 2, - 2, - 2)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos $C$ e $D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto $C$ e subtraia-os do ponto $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{CD}$ para a linha $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ - 3, - 1, - 3 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos $A$ e $B$ usando o mesmo método.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{AB}$ para a linha $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ 2, 3, 0 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos $A$ e $B$ e com o vetor de direção $V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha $C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha $C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial $V_{A B}$ x $V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ - 3 & - 1 & - 3 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

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Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

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Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

$i | \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} | - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie $| \begin{array}{c} 3 & 0 \\ - 1 & - 3 \end{array} |$ .

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Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 3 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$i (- 9 - - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $- - 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$i (- 9 - 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$i (- 9 + 0) - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 9$ e $0$ .

$i \cdot - 9 - | \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie $| \begin{array}{c} 2 & 0 \\ - 3 & - 3 \end{array} |$ .

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Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - (2 \cdot - 3 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - (- 3 \cdot 0)) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique $- (- 3 \cdot 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 - 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$i \cdot - 9 - (- 6 + 0) j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Some $- 6$ e $0$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + | \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie $| \begin{array}{c} 2 & 3 \\ - 3 & - 1 \end{array} |$ .

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Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (2 \cdot - 1 - (- 3 \cdot 3)) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - (- 3 \cdot 3)) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique $- (- 3 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1.2.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 - - 9) k$

Etapa 7.4.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + (- 2 + 9) k$

Etapa 7.4.2.2

Some $- 2$ e $9$ .

$i \cdot - 9 - - 6 j + 7 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Mova $- 9$ para a esquerda de $i$ .

$- 9 \cdot i - - 6 j + 7 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$- 9 i + 6 j + 7 k$

Etapa 8

Resolva a expressão $(- 9) x + (6) y + (7) z$ no ponto $A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9 + (6) \cdot 2 + (7) \cdot - 3$

Etapa 8.1.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$- 9 + 12 + (7) \cdot - 3$

Etapa 8.1.3

Multiplique $7$ por $- 3$ .

$- 9 + 12 - 21$

Etapa 8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.1

Some $- 9$ e $12$ .

$3 - 21$

Etapa 8.2.2

Subtraia $21$ de $3$ .

$- 18$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é $(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$ .

$(- 9) x + (6) y + (7) z = - 18$

Etapa 10

Multiplique $7$ por $z$ .

$- 9 x + 6 y + 7 z = - 18$

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