Álgebra Exemplos

$(1, 2, 3)$ , $(2, 5, 6)$ , $(2, 9, 7)$ , $(3, 3, 3)$

Etapa 1

Considerando os pontos $C = (2, 9, 7)$ e $D = (3, 3, 3)$ , encontre um plano que contenha os pontos $A = (1, 2, 3)$ e $B = (2, 5, 6)$ e que seja paralelo à reta $CD$ .

$A = (1, 2, 3)$

$B = (2, 5, 6)$

$C = (2, 9, 7)$

$D = (3, 3, 3)$

Etapa 2

Primeiro, calcule o vetor de direção da reta através dos pontos $C$ e $D$ . Para fazer isso, use os valores das coordenadas do ponto $C$ e subtraia-os do ponto $D$ .

$V_{C D} = < x_{D} - x_{C}, y_{D} - y_{C}, z_{D} - z_{C} >$

Etapa 3

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{CD}$ para a linha $CD$ .

$V_{CD} = ⟨ 1, - 6, - 4 ⟩$

Etapa 4

Calcule o vetor de direção de uma linha através dos pontos $A$ e $B$ usando o mesmo método.

$V_{A B} = < x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A} >$

Etapa 5

Substitua os valores $x$ , $y$ e $z$ e simplifique para obter o vetor de direção $V_{AB}$ para a linha $AB$ .

$V_{AB} = ⟨ 1, 3, 3 ⟩$

Etapa 6

O plano da solução conterá uma linha com os pontos $A$ e $B$ e com o vetor de direção $V_{A B}$ . Para que esse plano seja paralelo à linha $C D$ , encontre o vetor normal do plano, que também é ortogonal ao vetor de direção da linha $C D$ . Calcule o vetor normal determinando o produto vetorial $V_{A B}$ x $V_{C D}$ ao encontrar o determinante da matriz $[\begin{array}{c} i & j & k \\ x_{B} - x_{A} & y_{B} - y_{A} & z_{B} - z_{A} \\ x_{D} - x_{C} & y_{D} - y_{C} & z_{D} - z_{C} \end{array}]$ .

$[\begin{array}{c} i & j & k \\ 1 & 3 & 3 \\ 1 & - 6 & - 4 \end{array}]$

Etapa 7

Calcule o determinante.

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Etapa 7.1

Escolha a linha ou coluna com mais elementos $0$ . Se não houver elementos $0$ , escolha qualquer linha ou coluna. Multiplique cada elemento na linha $1$ por seu cofator e some.

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Etapa 7.1.1

Considere o gráfico de sinais correspondente.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 7.1.2

O cofator é o menor com o sinal alterado se os índices corresponderem a uma posição $-$ no gráfico de sinais.

Etapa 7.1.3

O menor para $a_{11}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $1$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.4

Multiplique o elemento $a_{11}$ por seu cofator.

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.5

O menor para $a_{12}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $2$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$

Etapa 7.1.6

Multiplique o elemento $a_{12}$ por seu cofator.

$- | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j$

Etapa 7.1.7

O menor para $a_{13}$ é o determinante com a linha $1$ e a coluna $3$ excluídas.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$

Etapa 7.1.8

Multiplique o elemento $a_{13}$ por seu cofator.

$| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.1.9

Adicione os termos juntos.

$i | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} | - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2

Avalie $| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ - 6 & - 4 \end{array} |$ .

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Etapa 7.2.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i (3 \cdot - 4 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.2.1.1

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$i (- 12 - (- 6 \cdot 3)) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $- (- 6 \cdot 3)$ .

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Etapa 7.2.2.1.2.1

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$i (- 12 - - 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 18$ .

$i (- 12 + 18) - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.2.2.2

Some $- 12$ e $18$ .

$i \cdot 6 - | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} | j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 4 \end{array} |$ .

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Etapa 7.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - (1 \cdot - 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.3.2.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 1 \cdot 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$i \cdot 6 - (- 4 - 3) j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.3.2.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + | \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} | k$

Etapa 7.4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 & 3 \\ 1 & - 6 \end{array} |$ .

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Etapa 7.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (1 \cdot - 6 - 1 \cdot 3) k$

Etapa 7.4.2

Simplifique o determinante.

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Etapa 7.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.4.2.1.1

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 1 \cdot 3) k$

Etapa 7.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$i \cdot 6 - - 7 j + (- 6 - 3) k$

Etapa 7.4.2.2

Subtraia $3$ de $- 6$ .

$i \cdot 6 - - 7 j - 9 k$

Etapa 7.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.5.1

Mova $6$ para a esquerda de $i$ .

$6 \cdot i - - 7 j - 9 k$

Etapa 7.5.2

Multiplique $- 1$ por $- 7$ .

$6 i + 7 j - 9 k$

Etapa 8

Resolva a expressão $(6) x + (7) y + (- 9) z$ no ponto $A$ , já que ele está no plano. Isso é usado para calcular a constante na equação para o plano.

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Etapa 8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + (7) \cdot 2 + (- 9) \cdot 3$

Etapa 8.1.2

Multiplique $7$ por $2$ .

$6 + 14 + (- 9) \cdot 3$

Etapa 8.1.3

Multiplique $- 9$ por $3$ .

$6 + 14 - 27$

Etapa 8.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 8.2.1

Some $6$ e $14$ .

$20 - 27$

Etapa 8.2.2

Subtraia $27$ de $20$ .

$- 7$

Etapa 9

Some a constante para encontrar a equação do plano, que é $(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$ .

$(6) x + (7) y + (- 9) z = - 7$

Etapa 10

Multiplique $- 9$ por $z$ .

$6 x + 7 y - 9 z = - 7$

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