Exemplos

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ ,

x - 4

$x - 4$

Etapa 1

Divida

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ usando a divisão sintética e verifique se o resto é igual a

0

$0$ . Se o resto for igual a

0

$0$ , isso significa que

x - 4

$x - 4$ é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ . Se o resto não for igual a

0

$0$ , isso significa que

x - 4

$x - 4$ não é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

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Etapa 1.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

Etapa 1.2

O primeiro número no dividendo

(1)

$(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$

	$1$ $1$

Etapa 1.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(1)

$(1)$ pelo divisor

(4)

$(4)$ e coloque o resultado de

(4)

$(4)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 2)

$(- 2)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$

Etapa 1.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Etapa 1.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(2)

$(2)$ pelo divisor

(4)

$(4)$ e coloque o resultado de

(8)

$(8)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 10)

$(- 10)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$
	$1$ $1$	$2$ $2$

Etapa 1.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$

Etapa 1.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 2)

$(- 2)$ pelo divisor

(4)

$(4)$ e coloque o resultado de

(- 8)

$(- 8)$ sob o próximo termo no dividendo

(7)

$(7)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$

Etapa 1.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Etapa 1.9

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(- 1)

$(- 1)$ pelo divisor

(4)

$(4)$ e coloque o resultado de

(- 4)

$(- 4)$ sob o próximo termo no dividendo

(4)

$(4)$ .

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Etapa 1.10

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$4$ $4$	$1$ $1$	$- 2$ $- 2$	$- 10$ $- 10$	$7$ $7$	$4$ $4$
		$4$ $4$	$8$ $8$	$- 8$ $- 8$	$- 4$ $- 4$
	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$	$0$ $0$

Etapa 1.11

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1

$1 x^{3} + 2 x^{2} + (- 2) x - 1$

Etapa 1.12

Simplifique o polinômio do quociente.

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$

Etapa 2

O resto da divisão de

\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}

$\frac{x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4}{x - 4}$ é

0

$0$ , o que significa que

x - 4

$x - 4$ é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$ .

x - 4

$x - 4$ é um fator para

x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4

$x^{4} - 2 x^{3} - 10 x^{2} + 7 x + 4$

Etapa 3

Encontre todas as raízes possíveis para

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Etapa 4

Estabeleça a próxima divisão para determinar se

x - 1

$x - 1$ é um fator do polinômio

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ .

\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1}{x - 1}$

Etapa 5

Divida a expressão usando a divisão sintética para determinar se é um fator do polinômio.

x - 1

$x - 1$ se divide uniformemente em

x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1

$x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 1$ , então,

x - 1

$x - 1$ é um fator do polinômio e há um polinômio restante de

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

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Etapa 5.1

Coloque os números que representam o divisor e o dividendo em uma configuração semelhante à de divisão.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

Etapa 5.2

O primeiro número no dividendo

(1)

$(1)$ é colocado na primeira posição da área de resultado (abaixo da linha horizontal).

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$

	$1$ $1$

Etapa 5.3

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(1)

$(1)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(1)

$(1)$ sob o próximo termo no dividendo

(2)

$(2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$

Etapa 5.4

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Etapa 5.5

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(3)

$(3)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(3)

$(3)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 2)

$(- 2)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$
	$1$ $1$	$3$ $3$

Etapa 5.6

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Etapa 5.7

Multiplique a entrada mais recente no resultado

(1)

$(1)$ pelo divisor

(1)

$(1)$ e coloque o resultado de

(1)

$(1)$ sob o próximo termo no dividendo

(- 1)

$(- 1)$ .

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$

Etapa 5.8

Some o produto da multiplicação com o número do dividendo e coloque o resultado na próxima posição, na linha de resultados.

$1$ $1$	$1$ $1$	$2$ $2$	$- 2$ $- 2$	$- 1$ $- 1$
		$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$
	$1$ $1$	$3$ $3$	$1$ $1$	$0$ $0$

Etapa 5.9

Todos os números, exceto o último, tornam-se os coeficientes do polinômio do quociente. O último valor na linha de resultados é o resto.

1 x^{2} + 3 x + 1

$1 x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 5.10

Simplifique o polinômio do quociente.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 6

Encontre todas as raízes possíveis para

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma

\frac{p}{q}

$\frac{p}{q}$ , em que

p

$p$ é um fator da constante e

q

$q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

p = \pm 1

$p = \pm 1$

q = \pm 1

$q = \pm 1$

Etapa 6.2

Encontre todas as combinações de

\pm \frac{p}{q}

$\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

\pm 1

$\pm 1$

\pm 1

$\pm 1$

Etapa 7

O fator final é o único fator que restou da divisão sintética.

x^{2} + 3 x + 1

$x^{2} + 3 x + 1$

Etapa 8

O polinômio fatorado é

(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$ .

(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)

$(x - 4) (x - 1) (x^{2} + 3 x + 1)$

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