Exemplos

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$

Etapa 1

Encontre os autovalores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica

$p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$

Etapa 1.2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho

$2$ é a matriz quadrada

$2 \times 2$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 1.3

Substitua os valores conhecidos em

$p (λ) = determinante (A - λ I_{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}]$ por

$A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ I_{2})$

Etapa 1.3.2

Substitua

$[\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}]$ por

$I_{2}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique

$- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3

Multiplique

$- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.3.1

Multiplique

$0$ por

$- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.3.2

Multiplique

$0$ por

$λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 1.4.1.2.4

Multiplique

$- 1$ por

$1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 \\ 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 1.4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Some

$2$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 1.4.3.2

Some

$- 6$ e

$0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} - 1 - λ & 2 \\ - 6 & 6 - λ \end{array}]$

Etapa 1.5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O determinante de uma matriz

$2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (- 1 - λ) (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1

Expanda

$(- 1 - λ) (6 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 (6 - λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ (6 - λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 1 \cdot 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.1

Multiplique

$- 1$ por

$6$ .

$p (λ) = - 6 - 1 (- λ) - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2

Multiplique

$- 1 (- λ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.2.1

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 + 1 λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.2.2

Multiplique

$λ$ por

$1$ .

$p (λ) = - 6 + λ - λ \cdot 6 - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.3

Multiplique

$6$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - λ (- λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5

Multiplique

$λ$ por

$λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.1

Mova

$λ$ .

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.5.2

Multiplique

$λ$ por

$λ$ .

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.6

Multiplique

$- 1$ por

$- 1$ .

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + 1 λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.1.7

Multiplique

$λ^{2}$ por

$1$ .

$p (λ) = - 6 + λ - 6 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.2.2

Subtraia

$6 λ$ de

$λ$ .

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - (- 6 \cdot 2)$

Etapa 1.5.2.1.3

Multiplique

$- (- 6 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1.3.1

Multiplique

$- 6$ por

$2$ .

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} - - 12$

Etapa 1.5.2.1.3.2

Multiplique

$- 1$ por

$- 12$ .

$p (λ) = - 6 - 5 λ + λ^{2} + 12$

Etapa 1.5.2.2

Some

$- 6$ e

$12$ .

$p (λ) = - 5 λ + λ^{2} + 6$

Etapa 1.5.2.3

Reordene

$- 5 λ$ e

$λ^{2}$ .

$p (λ) = λ^{2} - 5 λ + 6$

Etapa 1.6

Defina o polinômio característico como igual a

$0$ para encontrar os autovalores

$λ$ .

$λ^{2} - 5 λ + 6 = 0$

Etapa 1.7

Resolva

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Fatore

$λ^{2} - 5 λ + 6$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1.1

Considere a forma

$x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é

$c$ e cuja soma é

$b$ . Neste caso, cujo produto é

$6$ e cuja soma é

$- 5$ .

$- 3, - 2$

Etapa 1.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$

Etapa 1.7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

$0$ , toda a expressão será igual a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

$λ - 2 = 0$

Etapa 1.7.3

Defina

$λ - 3$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.3.1

Defina

$λ - 3$ como igual a

$0$ .

$λ - 3 = 0$

Etapa 1.7.3.2

Some

$3$ aos dois lados da equação.

$λ = 3$

Etapa 1.7.4

Defina

$λ - 2$ como igual a

$0$ e resolva para

$λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.4.1

Defina

$λ - 2$ como igual a

$0$ .

$λ - 2 = 0$

Etapa 1.7.4.2

Some

$2$ aos dois lados da equação.

$λ = 2$

Etapa 1.7.5

A solução final são todos os valores que tornam

$(λ - 3) (λ - 2) = 0$ verdadeiro.

$λ = 3, 2$

Etapa 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where

$N$ is the null space and

$I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{2})$

Etapa 3

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 3 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique

$- 3$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 \cdot 1 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Multiplique

$- 3$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & - 3 \cdot 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.2

Multiplique

$- 3$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ - 3 \cdot 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.3

Multiplique

$- 3$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 3.2.1.2.4

Multiplique

$- 3$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 0 & - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} - 1 - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia

$3$ de

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.2

Some

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.3

Some

$- 6$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 6 - 3 \end{array}]$

Etapa 3.2.3.4

Subtraia

$3$ de

$6$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 6 & 3 \end{array}]$

Etapa 3.3

Find the null space when

$λ = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 4 & 2 & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{4}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{4} \cdot - 4 & - \frac{1}{4} \cdot 2 & - \frac{1}{4} \cdot 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 & 3 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 3 + 6 (- \frac{1}{2}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{1}{2} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{y}{2} \\ y \end{array}]$

Etapa 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 3.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 4

Find the eigenvector using the eigenvalue

$λ = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua os valores conhecidos na fórmula.

$N ([\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] - 2 [\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Multiplique

$- 2$ por cada elemento da matriz.

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 \cdot 1 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.2.1

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & - 2 \cdot 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.2

Multiplique

$- 2$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ - 2 \cdot 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.3

Multiplique

$- 2$ por

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Etapa 4.2.1.2.4

Multiplique

$- 2$ por

$1$ .

$[\begin{array}{c} - 1 & 2 \\ - 6 & 6 \end{array}] + [\begin{array}{c} - 2 & 0 \\ 0 & - 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.2

Adicione os elementos correspondentes.

$[\begin{array}{c} - 1 - 2 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Subtraia

$2$ de

$- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 + 0 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.2

Some

$2$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 + 0 & 6 - 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.3

Some

$- 6$ e

$0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 6 - 2 \end{array}]$

Etapa 4.2.3.4

Subtraia

$2$ de

$6$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 \\ - 6 & 4 \end{array}]$

Etapa 4.3

Find the null space when

$λ = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Write as an augmented matrix for

$A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} - 3 & 2 & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Encontre a forma escalonada reduzida por linhas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiply each element of

$R_{1}$ by

$- \frac{1}{3}$ to make the entry at

$1, 1$ a

$1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{3} \cdot - 3 & - \frac{1}{3} \cdot 2 & - \frac{1}{3} \cdot 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.1.2

Simplifique

$R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 & 4 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Perform the row operation

$R_{2} = R_{2} + 6 R_{1}$ to make the entry at

$2, 1$ a

$0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ - 6 + 6 \cdot 1 & 4 + 6 (- \frac{2}{3}) & 0 + 6 \cdot 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.2.2.2

Simplifique

$R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{2}{3} y = 0$

$0 = 0$

Etapa 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{2 y}{3} \\ y \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Write as a solution set.

${y [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}] | y \in R}$

Etapa 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

Etapa 5

The eigenspace of

$A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{2}{3} \\ 1 \end{array}]}$

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