Trigonometry Examples

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Step 1

Since both terms are perfect squares, factor using the difference of squares formula,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ where

a = cos (θ)

$a = \cos (θ)$ and

b = sin (θ)

$b = \sin (θ)$ .

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Step 2

Expand

(cos (θ) + sin (θ)) (cos (θ) - sin (θ))

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ using the FOIL Method.

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Step 2.1

Apply the distributive property.

cos (θ) (cos (θ) - sin (θ)) + sin (θ) (cos (θ) - sin (θ))

$\cos (θ) (\cos (θ) - \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Step 2.2

Apply the distributive property.

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) + sin (θ) (cos (θ) - sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Step 2.3

Apply the distributive property.

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) + sin (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) + sin (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3

Simplify terms.

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Step 3.1

Combine the opposite terms in

cos (θ) cos (θ) + cos (θ) (- sin (θ)) + sin (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$ .

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Step 3.1.1

Reorder the factors in the terms

cos (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) (- \sin (θ))$ and

sin (θ) cos (θ)

$\sin (θ) \cos (θ)$ .

cos (θ) cos (θ) - cos (θ) sin (θ) + cos (θ) sin (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) - \cos (θ) \sin (θ) + \cos (θ) \sin (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.1.2

Add

- cos (θ) sin (θ)

$- \cos (θ) \sin (θ)$ and

cos (θ) sin (θ)

$\cos (θ) \sin (θ)$ .

cos (θ) cos (θ) + 0 + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + 0 + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.1.3

Add

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ and

0

$0$ .

cos (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

cos (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.2

Simplify each term.

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Step 3.2.1

Multiply

cos (θ) cos (θ)

$\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Step 3.2.1.1

Raise

cos (θ)

$\cos (θ)$ to the power of

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) cos (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.2.1.2

Raise

cos (θ)

$\cos (θ)$ to the power of

1

$1$ .

{cos}^{1} (θ) {cos}^{1} (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.2.1.3

Use the power rule

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

{cos (θ)}^{1 + 1} + sin (θ) (- sin (θ))

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.2.1.4

Add

1

$1$ and

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

{cos}^{2} (θ) + sin (θ) (- sin (θ))

$\cos^{2} (θ) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Step 3.2.2

Rewrite using the commutative property of multiplication.

{cos}^{2} (θ) - sin (θ) sin (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin (θ) \sin (θ)$

Step 3.2.3

Multiply

- sin (θ) sin (θ)

$- \sin (θ) \sin (θ)$ .

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Step 3.2.3.1

Raise

sin (θ)

$\sin (θ)$ to the power of

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) - ({sin}^{1} (θ) sin (θ))

$\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin (θ))$

Step 3.2.3.2

Raise

sin (θ)

$\sin (θ)$ to the power of

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) - ({sin}^{1} (θ) {sin}^{1} (θ))

$\cos^{2} (θ) - (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))$

Step 3.2.3.3

Use the power rule

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

{cos}^{2} (θ) - {sin (θ)}^{1 + 1}

$\cos^{2} (θ) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Step 3.2.3.4

Add

1

$1$ and

1

$1$ .

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

{cos}^{2} (θ) - {sin}^{2} (θ)

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Step 4

Apply the cosine double-angle identity.

cos (2 θ)

$\cos (2 θ)$