Precalculus Examples

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ ; $[- 10, - 5]$

Step 1

Write $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ as an equation.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$

Step 2

Substitute using the average rate of change formula.

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Step 2.1

The average rate of change of a function can be found by calculating the change in $y$ values of the two points divided by the change in $x$ values of the two points.

$\frac{f (- 5) - f (- 10)}{(- 5) - (- 10)}$

Step 2.2

Substitute the equation $y = \frac{2 x - 1}{x + 3}$ for $f (- 5)$ and $f (- 10)$ , replacing $x$ in the function with the corresponding $x$ value.

$\frac{(\frac{2 (- 5) - 1}{(- 5) + 3}) - (\frac{2 (- 10) - 1}{(- 10) + 3})}{(- 5) - (- 10)}$

Step 3

Simplify the expression.

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Step 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(- 5 + 3) (- 10 + 3)$ .

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Step 3.1.1

Multiply $\frac{\frac{2 (- 5) - 1}{- 5 + 3} - \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3}}{- 5 - (- 10)}$ by $\frac{(- 5 + 3) (- 10 + 3)}{(- 5 + 3) (- 10 + 3)}$ .

$\frac{(- 5 + 3) (- 10 + 3)}{(- 5 + 3) (- 10 + 3)} \cdot \frac{\frac{2 (- 5) - 1}{- 5 + 3} - \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3}}{- 5 - (- 10)}$

Step 3.1.2

Combine.

$\frac{(- 5 + 3) (- 10 + 3) (\frac{2 (- 5) - 1}{- 5 + 3} - \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3})}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) (- 5 - (- 10))}$

Step 3.2

Apply the distributive property.

$\frac{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \frac{2 (- 5) - 1}{- 5 + 3} + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3})}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3

Simplify by cancelling.

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Step 3.3.1

Cancel the common factor of $- 5 + 3$ .

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Step 3.3.1.1

Cancel the common factor.

$\frac{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \frac{2 (- 5) - 1}{- 5 + 3} + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3})}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.1.2

Rewrite the expression.

$\frac{(- 10 + 3) (2 (- 5) - 1) + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3})}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.2

Multiply $2$ by $- 5$ .

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3})}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.3

Cancel the common factor of $- 10 + 3$ .

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Step 3.3.3.1

Move the leading negative in $- \frac{2 (- 10) - 1}{- 10 + 3}$ into the numerator.

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 5 + 3) (- 10 + 3) \frac{- (2 (- 10) - 1)}{- 10 + 3}}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.3.2

Factor $- 10 + 3$ out of $(- 5 + 3) (- 10 + 3)$ .

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 10 + 3) (- 5 + 3) \frac{- (2 (- 10) - 1)}{- 10 + 3}}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.3.3

Cancel the common factor.

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 10 + 3) (- 5 + 3) \frac{- (2 (- 10) - 1)}{- 10 + 3}}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.3.4

Rewrite the expression.

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 5 + 3) (- (2 (- 10) - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.3.4

Multiply $2$ by $- 10$ .

$\frac{(- 10 + 3) (- 10 - 1) + (- 5 + 3) (- (- 20 - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4

Simplify the numerator.

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Step 3.4.1

Add $- 10$ and $3$ .

$\frac{- 7 (- 10 - 1) + (- 5 + 3) (- (- 20 - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.2

Subtract $1$ from $- 10$ .

$\frac{- 7 \cdot - 11 + (- 5 + 3) (- (- 20 - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.3

Multiply $- 7$ by $- 11$ .

$\frac{77 + (- 5 + 3) (- (- 20 - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.4

Add $- 5$ and $3$ .

$\frac{77 - 2 (- (- 20 - 1))}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.5

Subtract $1$ from $- 20$ .

$\frac{77 - 2 (- - 21)}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.6

Multiply $- 2 (- - 21)$ .

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Step 3.4.6.1

Multiply $- 1$ by $- 21$ .

$\frac{77 - 2 \cdot 21}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.6.2

Multiply $- 2$ by $21$ .

$\frac{77 - 42}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.4.7

Subtract $42$ from $77$ .

$\frac{35}{(- 5 + 3) (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5

Simplify the denominator.

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Step 3.5.1

Add $- 5$ and $3$ .

$\frac{35}{- 2 (- 10 + 3) \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5.2

Add $- 10$ and $3$ .

$\frac{35}{- 2 \cdot - 7 \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5.3

Multiply $- 2 \cdot - 7 \cdot - 5$ .

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Step 3.5.3.1

Multiply $- 2$ by $- 7$ .

$\frac{35}{14 \cdot - 5 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5.3.2

Multiply $14$ by $- 5$ .

$\frac{35}{- 70 + (- 5 + 3) (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5.4

Add $- 5$ and $3$ .

$\frac{35}{- 70 - 2 (- 10 + 3) (- (- 10))}$

Step 3.5.5

Add $- 10$ and $3$ .

$\frac{35}{- 70 - 2 \cdot - 7 (- (- 10))}$

Step 3.5.6

Multiply $- 2 \cdot - 7 (- (- 10))$ .

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Step 3.5.6.1

Multiply $- 2$ by $- 7$ .

$\frac{35}{- 70 + 14 (- (- 10))}$

Step 3.5.6.2

Multiply $- 1$ by $- 10$ .

$\frac{35}{- 70 + 14 \cdot 10}$

Step 3.5.6.3

Multiply $14$ by $10$ .

$\frac{35}{- 70 + 140}$

Step 3.5.7

Add $- 70$ and $140$ .

$\frac{35}{70}$

Step 3.6

Cancel the common factor of $35$ and $70$ .

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Step 3.6.1

Factor $35$ out of $35$ .

$\frac{35 (1)}{70}$

Step 3.6.2

Cancel the common factors.

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Step 3.6.2.1

Factor $35$ out of $70$ .

$\frac{35 \cdot 1}{35 \cdot 2}$

Step 3.6.2.2

Cancel the common factor.

$\frac{35 \cdot 1}{35 \cdot 2}$

Step 3.6.2.3

Rewrite the expression.

$\frac{1}{2}$