Precalculus Examples

$f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ ; $[- 3, 8]$

Step 1

Write $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ as an equation.

$y = \frac{2 x - 1}{x + 4}$

Step 2

Substitute using the average rate of change formula.

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Step 2.1

The average rate of change of a function can be found by calculating the change in $y$ values of the two points divided by the change in $x$ values of the two points.

$\frac{f (8) - f (- 3)}{(8) - (- 3)}$

Step 2.2

Substitute the equation $y = \frac{2 x - 1}{x + 4}$ for $f (8)$ and $f (- 3)$ , replacing $x$ in the function with the corresponding $x$ value.

$\frac{(\frac{2 (8) - 1}{(8) + 4}) - (\frac{2 (- 3) - 1}{(- 3) + 4})}{(8) - (- 3)}$

Step 3

Simplify the expression.

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Step 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(8 + 4) (- 3 + 4)$ .

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Step 3.1.1

Multiply $\frac{\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}}{8 - (- 3)}$ by $\frac{(8 + 4) (- 3 + 4)}{(8 + 4) (- 3 + 4)}$ .

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4)}{(8 + 4) (- 3 + 4)} \cdot \frac{\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}}{8 - (- 3)}$

Step 3.1.2

Combine.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) (\frac{2 (8) - 1}{8 + 4} - \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) (8 - (- 3))}$

Step 3.2

Apply the distributive property.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) \frac{2 (8) - 1}{8 + 4} + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3

Simplify by cancelling.

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Step 3.3.1

Cancel the common factor of $8 + 4$ .

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Step 3.3.1.1

Cancel the common factor.

$\frac{(8 + 4) (- 3 + 4) \frac{2 (8) - 1}{8 + 4} + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.1.2

Rewrite the expression.

$\frac{(- 3 + 4) (2 (8) - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.2

Multiply $2$ by $8$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) (- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4})}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.3

Cancel the common factor of $- 3 + 4$ .

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Step 3.3.3.1

Move the leading negative in $- \frac{2 (- 3) - 1}{- 3 + 4}$ into the numerator.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- 3 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.3.2

Factor $- 3 + 4$ out of $(8 + 4) (- 3 + 4)$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (- 3 + 4) (8 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.3.3

Cancel the common factor.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (- 3 + 4) (8 + 4) \frac{- (2 (- 3) - 1)}{- 3 + 4}}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.3.4

Rewrite the expression.

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- (2 (- 3) - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.3.4

Multiply $2$ by $- 3$ .

$\frac{(- 3 + 4) (16 - 1) + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4

Simplify the numerator.

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Step 3.4.1

Add $- 3$ and $4$ .

$\frac{1 (16 - 1) + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.2

Multiply $16 - 1$ by $1$ .

$\frac{16 - 1 + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.3

Subtract $1$ from $16$ .

$\frac{15 + (8 + 4) (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.4

Add $8$ and $4$ .

$\frac{15 + 12 (- (- 6 - 1))}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.5

Subtract $1$ from $- 6$ .

$\frac{15 + 12 (- - 7)}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.6

Multiply $12 (- - 7)$ .

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Step 3.4.6.1

Multiply $- 1$ by $- 7$ .

$\frac{15 + 12 \cdot 7}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.6.2

Multiply $12$ by $7$ .

$\frac{15 + 84}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.4.7

Add $15$ and $84$ .

$\frac{99}{(8 + 4) (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5

Simplify the denominator.

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Step 3.5.1

Add $8$ and $4$ .

$\frac{99}{12 (- 3 + 4) \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5.2

Add $- 3$ and $4$ .

$\frac{99}{12 \cdot 1 \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5.3

Multiply $12 \cdot 1 \cdot 8$ .

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Step 3.5.3.1

Multiply $12$ by $1$ .

$\frac{99}{12 \cdot 8 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5.3.2

Multiply $12$ by $8$ .

$\frac{99}{96 + (8 + 4) (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5.4

Add $8$ and $4$ .

$\frac{99}{96 + 12 (- 3 + 4) (- (- 3))}$

Step 3.5.5

Add $- 3$ and $4$ .

$\frac{99}{96 + 12 \cdot 1 (- (- 3))}$

Step 3.5.6

Multiply $12 \cdot 1 (- (- 3))$ .

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Step 3.5.6.1

Multiply $12$ by $1$ .

$\frac{99}{96 + 12 (- (- 3))}$

Step 3.5.6.2

Multiply $- 1$ by $- 3$ .

$\frac{99}{96 + 12 \cdot 3}$

Step 3.5.6.3

Multiply $12$ by $3$ .

$\frac{99}{96 + 36}$

Step 3.5.7

Add $96$ and $36$ .

$\frac{99}{132}$

Step 3.6

Cancel the common factor of $99$ and $132$ .

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Step 3.6.1

Factor $33$ out of $99$ .

$\frac{33 (3)}{132}$

Step 3.6.2

Cancel the common factors.

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Step 3.6.2.1

Factor $33$ out of $132$ .

$\frac{33 \cdot 3}{33 \cdot 4}$

Step 3.6.2.2

Cancel the common factor.

$\frac{33 \cdot 3}{33 \cdot 4}$

Step 3.6.2.3

Rewrite the expression.

$\frac{3}{4}$