Pre-Algebra Examples

$\frac{3 z - 7}{z^{2} - 4 z - 32} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Step 1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 1.1

Factor $z^{2} - 4 z - 32$ using the AC method.

Tap for more steps...

Step 1.1.1

Consider the form $x^{2} + b x + c$ . Find a pair of integers whose product is $c$ and whose sum is $b$ . In this case, whose product is $- 32$ and whose sum is $- 4$ .

$- 8, 4$

Step 1.1.2

Write the factored form using these integers.

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 16}$

Step 1.2

Simplify the denominator.

Tap for more steps...

Step 1.2.1

Rewrite $16$ as $4^{2}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{z^{2} - 4^{2}}$

Step 1.2.2

Since both terms are perfect squares, factor using the difference of squares formula, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ where $a = z$ and $b = 4$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Step 2

To write $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$

Step 3

To write $- \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)} \cdot \frac{z - 4}{z - 4} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Step 4

Write each expression with a common denominator of $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ , by multiplying each by an appropriate factor of $1$ .

Tap for more steps...

Step 4.1

Multiply $\frac{3 z - 7}{(z - 8) (z + 4)}$ by $\frac{z - 4}{z - 4}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)} \cdot \frac{z - 8}{z - 8}$

Step 4.2

Multiply $\frac{z + 8}{(z + 4) (z - 4)}$ by $\frac{z - 8}{z - 8}$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z - 8) (z + 4) (z - 4)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 4.3

Reorder the factors of $(z - 8) (z + 4) (z - 4)$ .

$\frac{(3 z - 7) (z - 4)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)} - \frac{(z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 5

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{(3 z - 7) (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6

Simplify the numerator.

Tap for more steps...

Step 6.1

Expand $(3 z - 7) (z - 4)$ using the FOIL Method.

Tap for more steps...

Step 6.1.1

Apply the distributive property.

$\frac{3 z (z - 4) - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.1.2

Apply the distributive property.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 (z - 4) - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.1.3

Apply the distributive property.

$\frac{3 z \cdot z + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.2

Simplify and combine like terms.

Tap for more steps...

Step 6.2.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 6.2.1.1

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 6.2.1.1.1

Move $z$ .

$\frac{3 (z \cdot z) + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.2.1.1.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{3 z^{2} + 3 z \cdot - 4 - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.2.1.2

Multiply $- 4$ by $3$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z - 7 \cdot - 4 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.2.1.3

Multiply $- 7$ by $- 4$ .

$\frac{3 z^{2} - 12 z - 7 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.2.2

Subtract $7 z$ from $- 12 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z + 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.3

Apply the distributive property.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 1 \cdot 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.4

Multiply $- 1$ by $8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 + (- z - 8) (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.5

Expand $(- z - 8) (z - 8)$ using the FOIL Method.

Tap for more steps...

Step 6.5.1

Apply the distributive property.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z (z - 8) - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.5.2

Apply the distributive property.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 (z - 8)}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.5.3

Apply the distributive property.

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z \cdot z - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6

Simplify and combine like terms.

Tap for more steps...

Step 6.6.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 6.6.1.1

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 6.6.1.1.1

Move $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - (z \cdot z) - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6.1.1.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} - z \cdot - 8 - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6.1.2

Multiply $- 8$ by $- 1$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z - 8 \cdot - 8}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6.1.3

Multiply $- 8$ by $- 8$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 8 z - 8 z + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6.2

Subtract $8 z$ from $8 z$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 0 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.6.3

Add $- z^{2}$ and $0$ .

$\frac{3 z^{2} - 19 z + 28 - z^{2} + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.7

Subtract $z^{2}$ from $3 z^{2}$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 28 + 64}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$

Step 6.8

Add $28$ and $64$ .

$\frac{2 z^{2} - 19 z + 92}{(z + 4) (z - 4) (z - 8)}$