Linear Algebra Examples

[\begin{array}{c} - 3 e^{2 t} & - 4 e^{3 t} \\ - 6 e^{2 t} & - 3 e^{3 t} \end{array}]

$[\begin{array}{c} - 3 e^{2 t} & - 4 e^{3 t} \\ - 6 e^{2 t} & - 3 e^{3 t} \end{array}]$

Step 1

The determinant of a

2 \times 2

$2 \times 2$ matrix can be found using the formula

| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 3 e^{2 t} (- 3 e^{3 t}) - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 e^{2 t} (- 3 e^{3 t}) - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2

Simplify the determinant.

Tap for more steps...

Step 2.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 2.1.1

Rewrite using the commutative property of multiplication.

- 3 \cdot - 3 e^{2 t} e^{3 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 \cdot - 3 e^{2 t} e^{3 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2.1.2

Multiply

e^{2 t}

$e^{2 t}$ by

e^{3 t}

$e^{3 t}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.2.1

Move

e^{3 t}

$e^{3 t}$ .

- 3 \cdot - 3 (e^{3 t} e^{2 t}) - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 \cdot - 3 (e^{3 t} e^{2 t}) - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2.1.2.2

Use the power rule

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

- 3 \cdot - 3 e^{3 t + 2 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 \cdot - 3 e^{3 t + 2 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2.1.2.3

Add

3 t

$3 t$ and

2 t

$2 t$ .

- 3 \cdot - 3 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 \cdot - 3 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

- 3 \cdot - 3 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$- 3 \cdot - 3 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2.1.3

Multiply

- 3

$- 3$ by

- 3

$- 3$ .

9 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))

$9 e^{5 t} - (- 6 e^{2 t} (- 4 e^{3 t}))$

Step 2.1.4

Multiply

e^{2 t}

$e^{2 t}$ by

e^{3 t}

$e^{3 t}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.4.1

Move

e^{3 t}

$e^{3 t}$ .

9 e^{5 t} - (- 6 (e^{3 t} e^{2 t}) \cdot - 4)

$9 e^{5 t} - (- 6 (e^{3 t} e^{2 t}) \cdot - 4)$

Step 2.1.4.2

Use the power rule

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

9 e^{5 t} - (- 6 e^{3 t + 2 t} \cdot - 4)

$9 e^{5 t} - (- 6 e^{3 t + 2 t} \cdot - 4)$

Step 2.1.4.3

Add

3 t

$3 t$ and

2 t

$2 t$ .

9 e^{5 t} - (- 6 e^{5 t} \cdot - 4)

$9 e^{5 t} - (- 6 e^{5 t} \cdot - 4)$

9 e^{5 t} - (- 6 e^{5 t} \cdot - 4)

$9 e^{5 t} - (- 6 e^{5 t} \cdot - 4)$

Step 2.1.5

Multiply

- 4

$- 4$ by

- 6

$- 6$ .

9 e^{5 t} - (24 e^{5 t})

$9 e^{5 t} - (24 e^{5 t})$

Step 2.1.6

Multiply

24

$24$ by

- 1

$- 1$ .

9 e^{5 t} - 24 e^{5 t}

$9 e^{5 t} - 24 e^{5 t}$

9 e^{5 t} - 24 e^{5 t}

$9 e^{5 t} - 24 e^{5 t}$

Step 2.2

Subtract

24 e^{5 t}

$24 e^{5 t}$ from

9 e^{5 t}

$9 e^{5 t}$ .

- 15 e^{5 t}

$- 15 e^{5 t}$

- 15 e^{5 t}

$- 15 e^{5 t}$