Linear Algebra Examples

$[\begin{array}{c} e^{- 3 x} \cos (2 x) & e^{- 3 x} \sin (2 x) \\ - 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) & - 3 e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) \end{array}]$

Step 1

The determinant of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$e^{- 3 x} \cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2

Simplify the determinant.

Tap for more steps...

Step 2.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 2.1.1

Apply the distributive property.

$e^{- 3 x} \cos (2 x) (- 3 e^{- 3 x} \sin (2 x)) + e^{- 3 x} \cos (2 x) (2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.2

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \sin (2 x) + e^{- 3 x} \cos (2 x) (2 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.3

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 2.1.4.1

Multiply $e^{- 3 x}$ by $e^{- 3 x}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.4.1.1

Move $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.1.2

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.1.3

Subtract $3 x$ from $- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \cos (2 x) e^{- 3 x} \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.2

Multiply $e^{- 3 x}$ by $e^{- 3 x}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.4.2.1

Move $e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.2.2

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.2.3

Subtract $3 x$ from $- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos (2 x) \cos (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.3

Multiply $2 e^{- 6 x} \cos (2 x) \cos (2 x)$ .

Tap for more steps...

Step 2.1.4.3.1

Raise $\cos (2 x)$ to the power of $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\cos^{1} (2 x) \cos (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.3.2

Raise $\cos (2 x)$ to the power of $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x)) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.3.3

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} {\cos (2 x)}^{1 + 1} - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.4.3.4

Add $1$ and $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) - (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) - 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.5

Apply the distributive property.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (- (- 3 e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 2 e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.6

Multiply $- 3$ by $- 1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 (e^{- 3 x} \cos (2 x)) - (- 2 e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.7

Multiply $- 2$ by $- 1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 (e^{- 3 x} \cos (2 x)) + 2 (e^{- 3 x} \sin (2 x))) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.8

Remove parentheses.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + (3 e^{- 3 x} \cos (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x)) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.9

Apply the distributive property.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 3 x} \cos (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x)) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.10

Multiply $e^{- 3 x}$ by $e^{- 3 x}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.10.1

Move $e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.10.2

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 3 x - 3 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.10.3

Subtract $3 x$ from $- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x} \sin (2 x) (e^{- 3 x} \sin (2 x))$

Step 2.1.11

Multiply $e^{- 3 x}$ by $e^{- 3 x}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 2.1.11.1

Move $e^{- 3 x}$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 (e^{- 3 x} e^{- 3 x}) \sin (2 x) \sin (2 x)$

Step 2.1.11.2

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 3 x - 3 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$

Step 2.1.11.3

Subtract $3 x$ from $- 3 x$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$

Step 2.1.12

Multiply $2 e^{- 6 x} \sin (2 x) \sin (2 x)$ .

Tap for more steps...

Step 2.1.12.1

Raise $\sin (2 x)$ to the power of $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x))$

Step 2.1.12.2

Raise $\sin (2 x)$ to the power of $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x))$

Step 2.1.12.3

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} {\sin (2 x)}^{1 + 1}$

Step 2.1.12.4

Add $1$ and $1$ .

$- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Step 2.2

Combine the opposite terms in $- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$ .

Tap for more steps...

Step 2.2.1

Add $- 3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x)$ and $3 e^{- 6 x} \cos (2 x) \sin (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 0 + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Step 2.2.2

Add $2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x)$ and $0$ .

$2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Step 2.3

Factor $2 e^{- 6 x}$ out of $2 e^{- 6 x} \cos^{2} (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$

Step 2.4

Factor $2 e^{- 6 x}$ out of $2 e^{- 6 x} \sin^{2} (2 x)$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x))$

Step 2.5

Factor $2 e^{- 6 x}$ out of $2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x)) + 2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x))$ .

$2 e^{- 6 x} (\cos^{2} (2 x) + \sin^{2} (2 x))$

Step 2.6

Rearrange terms.

$2 e^{- 6 x} (\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x))$

Step 2.7

Apply pythagorean identity.

$2 e^{- 6 x} \cdot 1$

Step 2.8

Multiply $2$ by $1$ .

$2 e^{- 6 x}$