Calculus Examples

$\int x {(4 x + 7)}^{8} d x$

Step 1

This integral could not be completed using u-substitution. Mathway will use another method.

Step 2

Simplify.

Tap for more steps...

Step 2.1

Use the Binomial Theorem.

$\int x ({(4 x)}^{8} + 8 {(4 x)}^{7} \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 2.2.1

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (4^{8} x^{8} + 8 {(4 x)}^{7} \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.2

Raise $4$ to the power of $8$ .

$\int x (65536 x^{8} + 8 {(4 x)}^{7} \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.3

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 8 (4^{7} x^{7}) \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.4

Raise $4$ to the power of $7$ .

$\int x (65536 x^{8} + 8 (16384 x^{7}) \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.5

Multiply $16384$ by $8$ .

$\int x (65536 x^{8} + 131072 x^{7} \cdot 7 + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.6

Multiply $7$ by $131072$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 28 {(4 x)}^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.7

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 28 (4^{6} x^{6}) \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.8

Raise $4$ to the power of $6$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 28 (4096 x^{6}) \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.9

Multiply $4096$ by $28$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 114688 x^{6} \cdot 7^{2} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.10

Raise $7$ to the power of $2$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 114688 x^{6} \cdot 49 + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.11

Multiply $49$ by $114688$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 56 {(4 x)}^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.12

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 56 (4^{5} x^{5}) \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.13

Raise $4$ to the power of $5$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 56 (1024 x^{5}) \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.14

Multiply $1024$ by $56$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 57344 x^{5} \cdot 7^{3} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.15

Raise $7$ to the power of $3$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 57344 x^{5} \cdot 343 + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.16

Multiply $343$ by $57344$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 70 {(4 x)}^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.17

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 70 (4^{4} x^{4}) \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.18

Raise $4$ to the power of $4$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 70 (256 x^{4}) \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.19

Multiply $256$ by $70$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 17920 x^{4} \cdot 7^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.20

Raise $7$ to the power of $4$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 17920 x^{4} \cdot 2401 + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.21

Multiply $2401$ by $17920$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 56 {(4 x)}^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.22

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 56 (4^{3} x^{3}) \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.23

Raise $4$ to the power of $3$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 56 (64 x^{3}) \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.24

Multiply $64$ by $56$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 3584 x^{3} \cdot 7^{5} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.25

Raise $7$ to the power of $5$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 3584 x^{3} \cdot 16807 + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.26

Multiply $16807$ by $3584$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 28 {(4 x)}^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.27

Apply the product rule to $4 x$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 28 (4^{2} x^{2}) \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.28

Raise $4$ to the power of $2$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 28 (16 x^{2}) \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.29

Multiply $16$ by $28$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 448 x^{2} \cdot 7^{6} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.30

Raise $7$ to the power of $6$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 448 x^{2} \cdot 117649 + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.31

Multiply $117649$ by $448$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 8 (4 x) \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.32

Multiply $4$ by $8$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 32 x \cdot 7^{7} + 7^{8}) d x$

Step 2.2.33

Raise $7$ to the power of $7$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 32 x \cdot 823543 + 7^{8}) d x$

Step 2.2.34

Multiply $823543$ by $32$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 26353376 x + 7^{8}) d x$

Step 2.2.35

Raise $7$ to the power of $8$ .

$\int x (65536 x^{8} + 917504 x^{7} + 5619712 x^{6} + 19668992 x^{5} + 43025920 x^{4} + 60236288 x^{3} + 52706752 x^{2} + 26353376 x + 5764801) d x$

Step 2.3

Apply the distributive property.

$\int x (65536 x^{8}) + x (917504 x^{7}) + x (5619712 x^{6}) + x (19668992 x^{5}) + x (43025920 x^{4}) + x (60236288 x^{3}) + x (52706752 x^{2}) + x (26353376 x) + x \cdot 5764801 d x$

Step 2.4

Simplify.

Tap for more steps...

Step 2.4.1