Calculus Examples

\int e^{- θ} cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$

Step 1

Reorder

e^{- θ}

$e^{- θ}$ and

cos (2 θ)

$\cos (2 θ)$ .

\int cos (2 θ) e^{- θ} d θ

$\int \cos (2 θ) e^{- θ} d θ$

Step 2

Integrate by parts using the formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , where

u = cos (2 θ)

$u = \cos (2 θ)$ and

d v = e^{- θ}

$d v = e^{- θ}$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 sin (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (- 2 \sin (2 θ)) d θ$

Step 3

Since

- - 2

$- - 2$ is constant with respect to

θ

$θ$ , move

- - 2

$- - 2$ out of the integral.

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (sin (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (- - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Step 4

Simplify the expression.

Tap for more steps...

Step 4.1

Multiply

- 1

$- 1$ by

- 2

$- 2$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (sin (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - (2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ)$

Step 4.2

Multiply

2

$2$ by

- 1

$- 1$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (sin (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int e^{- θ} (\sin (2 θ)) d θ$

Step 4.3

Reorder

e^{- θ}

$e^{- θ}$ and

sin (2 θ)

$\sin (2 θ)$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int sin (2 θ) e^{- θ} d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int sin (2 θ) e^{- θ} d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 \int \sin (2 θ) e^{- θ} d θ$

Step 5

Integrate by parts using the formula

\int u d v = u v - \int v d u

$\int u d v = u v - \int v d u$ , where

u = sin (2 θ)

$u = \sin (2 θ)$ and

d v = e^{- θ}

$d v = e^{- θ}$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - \int - e^{- θ} (2 \cos (2 θ)) d θ)$

Step 6

Since

- 1 \cdot 2

$- 1 \cdot 2$ is constant with respect to

θ

$θ$ , move

- 1 \cdot 2

$- 1 \cdot 2$ out of the integral.

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ))

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Step 7

Simplify by multiplying through.

Tap for more steps...

Step 7.1

Multiply

- 1

$- 1$ by

2

$2$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ))

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) - (- 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ))$

Step 7.2

Multiply

- 2

$- 2$ by

- 1

$- 1$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Step 7.3

Apply the distributive property.

cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) - 2 (\sin (2 θ) (- e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Step 7.4

Multiply.

Tap for more steps...

Step 7.4.1

Multiply

- 1

$- 1$ by

- 2

$- 2$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ)

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 2 (2 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ)$

Step 7.4.2

Multiply

2

$2$ by

- 2

$- 2$ .

cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (cos (2 θ)) d θ

$\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ})) - 4 \int e^{- θ} (\cos (2 θ)) d θ$

Step 8

Solving for

\int e^{- θ} cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ , we find that

\int e^{- θ} cos (2 θ) d θ

$\int e^{- θ} \cos (2 θ) d θ$ =

\frac{cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5}$ .

\frac{cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 (\sin (2 θ) (e^{- θ}))}{5} + C$

Step 9

Simplify the answer.

Tap for more steps...

Step 9.1

Rewrite

\frac{cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{\cos (2 θ) (- e^{- θ}) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ as

\frac{- cos (2 θ) e^{- θ} + 2 sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$ .

\frac{- cos (2 θ) e^{- θ} + 2 sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Step 9.2

Simplify.

Tap for more steps...

Step 9.2.1

Factor

e^{- θ}

$e^{- θ}$ out of

- cos (2 θ) e^{- θ} + 2 sin (2 θ) e^{- θ}

$- \cos (2 θ) e^{- θ} + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

Tap for more steps...

Step 9.2.1.1

Factor

e^{- θ}

$e^{- θ}$ out of

- cos (2 θ) e^{- θ}

$- \cos (2 θ) e^{- θ}$ .

\frac{e^{- θ} (- cos (2 θ)) + 2 sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ) e^{- θ}}{5} + C$

Step 9.2.1.2

Factor

e^{- θ}

$e^{- θ}$ out of

2 sin (2 θ) e^{- θ}

$2 \sin (2 θ) e^{- θ}$ .

\frac{e^{- θ} (- cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Step 9.2.1.3

Factor

e^{- θ}

$e^{- θ}$ out of

e^{- θ} (- cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 sin (2 θ))

$e^{- θ} (- \cos (2 θ)) + e^{- θ} (2 \sin (2 θ))$ .

\frac{e^{- θ} (- cos (2 θ) + 2 sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

\frac{e^{- θ} (- cos (2 θ) + 2 sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- \cos (2 θ) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Step 9.2.2

Factor

- 1

$- 1$ out of

- cos (2 θ)

$- \cos (2 θ)$ .

\frac{e^{- θ} (- (cos (2 θ)) + 2 sin (2 θ))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) + 2 \sin (2 θ))}{5} + C$

Step 9.2.3

Factor

- 1

$- 1$ out of

2 sin (2 θ)

$2 \sin (2 θ)$ .

\frac{e^{- θ} (- (cos (2 θ)) - (- 2 sin (2 θ)))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Step 9.2.4

Factor

- 1

$- 1$ out of

- (cos (2 θ)) - (- 2 sin (2 θ))

$- (\cos (2 θ)) - (- 2 \sin (2 θ))$ .

\frac{e^{- θ} (- (cos (2 θ) - 2 sin (2 θ)))}{5} + C

$\frac{e^{- θ} (- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Step 9.2.5

Rewrite

- (cos (2 θ) - 2 sin (2 θ))

$- (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ as

- 1 (cos (2 θ) - 2 sin (2 θ))

$- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ))$ .

$\frac{e^{- θ} (- 1 (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)))}{5} + C$

Step 9.2.6

Move the negative in front of the fraction.

$- \frac{1}{5} e^{- θ} (\cos (2 θ) - 2 \sin (2 θ)) + C$