Basic Math Examples

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{z^{2} - 8 z + 12}$

Step 1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 1.1

Factor $z^{2} - 8 z + 12$ using the AC method.

Tap for more steps...

Step 1.1.1

Consider the form $x^{2} + b x + c$ . Find a pair of integers whose product is $c$ and whose sum is $b$ . In this case, whose product is $12$ and whose sum is $- 8$ .

$- 6, - 2$

Step 1.1.2

Write the factored form using these integers.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$

Step 1.2

Multiply $\frac{z - 1}{z - 2} \cdot \frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

Tap for more steps...

Step 1.2.1

Multiply $\frac{z - 1}{z - 2}$ by $\frac{6 z}{(z - 6) (z - 2)}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{(z - 2) ((z - 6) (z - 2))}$

Step 1.2.2

Raise $z - 2$ to the power of $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} (z - 2) (z - 6)}$

Step 1.2.3

Raise $z - 2$ to the power of $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1} {(z - 2)}^{1} (z - 6)}$

Step 1.2.4

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{1 + 1} (z - 6)}$

Step 1.2.5

Add $1$ and $1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{(z - 1) (6 z)}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 1.3

Move $6$ to the left of $z - 1$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 2

To write $\frac{z + 3}{z - 6}$ as a fraction with a common denominator, multiply by $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{z + 3}{z - 6} \cdot \frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 3

Write each expression with a common denominator of $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ , by multiplying each by an appropriate factor of $1$ .

Tap for more steps...

Step 3.1

Multiply $\frac{z + 3}{z - 6}$ by $\frac{{(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2}}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{(z - 6) {(z - 2)}^{2}} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 3.2

Reorder the factors of $(z - 6) {(z - 2)}^{2}$ .

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2}}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)} + \frac{6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 4

Combine the numerators over the common denominator.

$\frac{(z + 3) {(z - 2)}^{2} + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5

Simplify the numerator.

Tap for more steps...

Step 5.1

Rewrite ${(z - 2)}^{2}$ as $(z - 2) (z - 2)$ .

$\frac{(z + 3) ((z - 2) (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.2

Expand $(z - 2) (z - 2)$ using the FOIL Method.

Tap for more steps...

Step 5.2.1

Apply the distributive property.

$\frac{(z + 3) (z (z - 2) - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.2.2

Apply the distributive property.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 (z - 2)) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.2.3

Apply the distributive property.

$\frac{(z + 3) (z \cdot z + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.3

Simplify and combine like terms.

Tap for more steps...

Step 5.3.1

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 5.3.1.1

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} + z \cdot - 2 - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.3.1.2

Move $- 2$ to the left of $z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 \cdot z - 2 z - 2 \cdot - 2) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.3.1.3

Multiply $- 2$ by $- 2$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 2 z - 2 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.3.2

Subtract $2 z$ from $- 2 z$ .

$\frac{(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4) + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.4

Expand $(z + 3) (z^{2} - 4 z + 4)$ by multiplying each term in the first expression by each term in the second expression.

$\frac{z \cdot z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5

Simplify each term.

Tap for more steps...

Step 5.5.1

Multiply $z$ by $z^{2}$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 5.5.1.1

Multiply $z$ by $z^{2}$ .

Tap for more steps...

Step 5.5.1.1.1

Raise $z$ to the power of $1$ .

$\frac{z^{1} z^{2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.1.1.2

Use the power rule $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ to combine exponents.

$\frac{z^{1 + 2} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.1.2

Add $1$ and $2$ .

$\frac{z^{3} + z (- 4 z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.2

Rewrite using the commutative property of multiplication.

$\frac{z^{3} - 4 z \cdot z + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.3

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 5.5.3.1

Move $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 (z \cdot z) + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.3.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + z \cdot 4 + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.4

Move $4$ to the left of $z$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 \cdot z + 3 z^{2} + 3 (- 4 z) + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.5

Multiply $- 4$ by $3$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 3 \cdot 4 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.5.6

Multiply $3$ by $4$ .

$\frac{z^{3} - 4 z^{2} + 4 z + 3 z^{2} - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.6

Add $- 4 z^{2}$ and $3 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} + 4 z - 12 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.7

Subtract $12 z$ from $4 z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.8

Apply the distributive property.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z + 6 \cdot - 1) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.9

Multiply $6$ by $- 1$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + (6 z - 6) z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.10

Apply the distributive property.

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z \cdot z - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.11

Multiply $z$ by $z$ by adding the exponents.

Tap for more steps...

Step 5.11.1

Move $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 (z \cdot z) - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.11.2

Multiply $z$ by $z$ .

$\frac{z^{3} - z^{2} - 8 z + 12 + 6 z^{2} - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.12

Add $- z^{2}$ and $6 z^{2}$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 8 z + 12 - 6 z}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$

Step 5.13

Subtract $6 z$ from $- 8 z$ .

$\frac{z^{3} + 5 z^{2} - 14 z + 12}{{(z - 2)}^{2} (z - 6)}$