삼각법 예제

$\sin^{2} (x) = 2 - 2 \cos (x)$

단계 1

모든 수식을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

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단계 1.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$\sin^{2} (x) - 2 = - 2 \cos (x)$

단계 1.2

방정식의 양변에 $2 \cos (x)$ 를 더합니다.

$\sin^{2} (x) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

단계 2

$\sin^{2} (x)$ 에 $1 - \cos^{2} (x)$ 를 대입합니다.

$(1 - \cos^{2} (x)) - 2 + 2 \cos (x) = 0$

단계 3

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.1

$1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- 1 - \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) = 0$

단계 3.2

공통인수를 이용하여 인수분해를 합니다.

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단계 3.2.1

항을 다시 정렬합니다.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.2

$a x^{2} + b x + c$ 형태의 다항식에 대해 곱이 $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ 이고 합이 $b = 2$ 인 두 항의 합으로 중간항을 다시 씁니다.

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단계 3.2.2.1

$2 \cos (x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$- \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.2.2

$2$ 를 $1$ + $1$ 로 다시 씁니다.

$- \cos^{2} (x) + (1 + 1) \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.2.3

분배 법칙을 적용합니다.

$- \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.2.4

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.2.5

$\cos (x)$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.3

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

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단계 3.2.3.1

처음 두 항과 마지막 두 항을 묶습니다.

$- \cos^{2} (x) + \cos (x) + \cos (x) - 1 = 0$

단계 3.2.3.2

각 그룹에서 최대공약수를 밖으로 뺍니다.

$\cos (x) (- \cos (x) + 1) - 1 (- \cos (x) + 1) = 0$

단계 3.2.4

최대공약수 $- \cos (x) + 1$ 을 밖으로 빼어 다항식을 인수분해합니다.

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

단계 3.3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$- \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

단계 3.4

$- \cos (x) + 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.4.1

$- \cos (x) + 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$- \cos (x) + 1 = 0$

단계 3.4.2

$- \cos (x) + 1 = 0$ 을 $x$ 에 대해 풉니다.

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단계 3.4.2.1

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$- \cos (x) = - 1$

단계 3.4.2.2

$- \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.1

$- \cos (x) = - 1$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.2.2.2

$\cos (x)$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = \frac{- 1}{- 1}$

단계 3.4.2.2.3

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.2.3.1

$- 1$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\cos (x) = 1$

단계 3.4.2.3

코사인 안의 $x$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 코사인의 역을 취합니다.

$x = \arccos (1)$

단계 3.4.2.4

우변을 간단히 합니다.

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단계 3.4.2.4.1

$\arccos (1)$ 의 정확한 값은 $0$ 입니다.

$x = 0$

단계 3.4.2.5

코사인 함수는 제1사분면과 제4사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $2 π$ 에서 기준각을 빼어 제4사분면에 있는 해를 구합니다.

$x = 2 π - 0$

단계 3.4.2.6

$2 π$ 에서 $0$ 을 뺍니다.

$x = 2 π$

단계 3.4.2.7

$\cos (x)$ 주기를 구합니다.

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단계 3.4.2.7.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 3.4.2.7.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 3.4.2.7.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 3.4.2.7.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 3.4.2.8

함수 $\cos (x)$ 의 주기는 $2 π$ 이므로 양 방향으로 $2 π$ 라디안마다 값이 반복됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 3.5

$(- \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n, 2 π + 2 π n$

단계 4

답안을 하나로 합합니다.

임의의 정수 $n$ 에 대해 $x = 2 π n$