삼각법 예제

${(5 v + 2)}^{6}$

단계 1

파스칼의 삼각형은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

$1$

$1 - 1$

$1 - 2 - 1$

$1 - 3 - 3 - 1$

$1 - 4 - 6 - 4 - 1$

$1 - 5 - 10 - 10 - 5 - 1$

$1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$

지수 $n$ 를 취하고 $1$ 을 더하여 ${(a + b)}^{n}$ 의 전개식의 계수를 계산하는 데 삼각형을 사용할 수 있습니다. 계수는 삼각형의 선 $n + 1$ 에 표시되는 값에 해당합니다. ${(5 v + 2)}^{6}$ 의 경우 $n = 6$ 이므로 전개식의 계수는 선 $7$ 에 해당합니다.

단계 2

식의 전개는 ${(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} b^{0} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} a^{0} b^{n}$ 공식을 따릅니다. 삼각형으로부터의 계수 값은 $1 - 6 - 15 - 20 - 15 - 6 - 1$ 입니다.

$1 a^{6} b^{0} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 a^{0} b^{6}$

단계 3

$a$ $5 v$ 및 $b$ $2$ 의 실제 값을 식에 대입합니다.

$1 {(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.1

${(5 v)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

${(5 v)}^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.2

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$5^{6} v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.3

$5$ 를 $6$ 승 합니다.

$15625 v^{6} {(2)}^{0} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.4

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$15625 v^{6} \cdot 1 + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.5

$15625$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 6 {(5 v)}^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.6

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15625 v^{6} + 6 (5^{5} v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.7

$5$ 를 $5$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 6 (3125 v^{5}) {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.8

$3125$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} {(2)}^{1} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.9

지수값을 계산합니다.

$15625 v^{6} + 18750 v^{5} \cdot 2 + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.10

$2$ 에 $18750$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 {(5 v)}^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.11

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (5^{4} v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.12

$5$ 를 $4$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 15 (625 v^{4}) {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.13

$625$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} {(2)}^{2} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.14

$2$ 를 $2$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 9375 v^{4} \cdot 4 + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.15

$4$ 에 $9375$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 {(5 v)}^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.16

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (5^{3} v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.17

$5$ 를 $3$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20 (125 v^{3}) {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.18

$125$ 에 $20$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} {(2)}^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.19

$2$ 를 $3$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 2500 v^{3} \cdot 8 + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.20

$8$ 에 $2500$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 {(5 v)}^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.21

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (5^{2} v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.22

$5$ 를 $2$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 15 (25 v^{2}) {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.23

$25$ 에 $15$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} {(2)}^{4} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.24

$2$ 를 $4$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 375 v^{2} \cdot 16 + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.25

$16$ 에 $375$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 {(5 v)}^{1} {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.26

간단히 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 6 (5 v) {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.27

$5$ 에 $6$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v {(2)}^{5} + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.28

$2$ 를 $5$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 30 v \cdot 32 + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.29

$32$ 에 $30$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.30

${(5 v)}^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(5 v)}^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.31

$5 v$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 5^{0} v^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.32

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 v^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.33

$v^{0}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + v^{0} {(2)}^{6}$

단계 4.34

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 1 {(2)}^{6}$

단계 4.35

${(2)}^{6}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + {(2)}^{6}$

단계 4.36

$2$ 를 $6$ 승 합니다.

$15625 v^{6} + 37500 v^{5} + 37500 v^{4} + 20000 v^{3} + 6000 v^{2} + 960 v + 64$