삼각법 예제

$y = e^{x - 1}$

단계 1

변수를 서로 바꿉니다.

$x = e^{y - 1}$

단계 2

$y$ 에 대해 풉니다.

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단계 2.1

$e^{y - 1} = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$e^{y - 1} = x$

단계 2.2

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (x)$

단계 2.3

왼편을 확장합니다.

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단계 2.3.1

$y - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (e^{y - 1})$ 을 전개합니다.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (x)$

단계 2.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (x)$

단계 2.3.3

$y - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$y - 1 = \ln (x)$

단계 2.4

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$y = \ln (x) + 1$

단계 3

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$

단계 4

증명하려면 $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ 가 $f (x) = e^{x - 1}$ 의 역함수인지 확인합니다.

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단계 4.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 4.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 4.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (e^{x - 1})$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = \ln (e^{x - 1}) + 1$

단계 4.2.3

각 항을 간단히 합니다.

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단계 4.2.3.1

로그 공식을 이용해 지수에서 $x - 1$ 를 바깥으로 빼냅니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \ln (e) + 1$

단계 4.2.3.2

$e$ 의 자연로그값은 $1$ 입니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = (x - 1) \cdot 1 + 1$

단계 4.2.3.3

$x - 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x - 1 + 1$

단계 4.2.4

$x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.2.4.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x + 0$

단계 4.2.4.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (e^{x - 1}) = x$

단계 4.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

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단계 4.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 4.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (\ln (x) + 1)$ 값을 계산합니다.

$f (\ln (x) + 1) = e^{(\ln (x) + 1) - 1}$

단계 4.3.3

$(\ln (x) + 1) - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

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단계 4.3.3.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x) + 0}$

단계 4.3.3.2

$\ln (x)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (\ln (x) + 1) = e^{\ln (x)}$

단계 4.3.4

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (\ln (x) + 1) = x$

단계 4.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$ 은 $f (x) = e^{x - 1}$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) + 1$