삼각법 예제

$x - \frac{8}{x} < 2$

단계 1

방정식 항의 최소공분모를 구합니다.

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단계 1.1

여러 값의 최소공분모를 구하는 것은 해당 값들의 분모의 최소공배수를 구하는 것과 같습니다.

$1, x, 1$

단계 1.2

1과 식의 최소공배수는 그 식 자체입니다.

$x$

단계 2

$x - \frac{8}{x} < 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱하고 분수를 소거합니다.

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단계 2.1

$x - \frac{8}{x} < 2$ 의 각 항에 $x$ 을 곱합니다.

$x \cdot x - \frac{8}{x} x < 2 x$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 2.2.1.1

$x$ 에 $x$ 을 곱합니다.

$x^{2} - \frac{8}{x} x < 2 x$

단계 2.2.1.2

$x$ 의 공약수로 약분합니다.

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단계 2.2.1.2.1

$- \frac{8}{x}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < 2 x$

단계 2.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$x^{2} + \frac{- 8}{x} x < 2 x$

단계 2.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$x^{2} - 8 < 2 x$

단계 3

부등식을 풉니다.

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단계 3.1

부등식의 양변에서 $2 x$ 를 뺍니다.

$x^{2} - 8 - 2 x < 0$

단계 3.2

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$x^{2} - 8 - 2 x = 0$

단계 3.3

AC 방법을 이용하여 $x^{2} - 8 - 2 x$ 를 인수분해합니다.

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단계 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $- 8$ 이고 합은 $- 2$ 입니다.

$- 4, 2$

단계 3.3.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

단계 3.4

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

단계 3.5

$x - 4$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.5.1

$x - 4$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 4 = 0$

단계 3.5.2

방정식의 양변에 $4$ 를 더합니다.

$x = 4$

단계 3.6

$x + 2$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 3.6.1

$x + 2$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 2 = 0$

단계 3.6.2

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$x = - 2$

단계 3.7

$(x - 4) (x + 2) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = 4, - 2$

단계 4

$x - \frac{8}{x} - 2$ 의 정의역을 구합니다.

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단계 4.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{8}{x}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x = 0$

단계 4.2

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

단계 5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

단계 6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 6.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.1.1

$x < - 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 4$

단계 6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 4$ 로 치환합니다.

$(- 4) - \frac{8}{- 4} < 2$

단계 6.1.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 6.2

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.2.1

$- 2 < x < 0$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 1$

단계 6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 1$ 로 치환합니다.

$(- 1) - \frac{8}{- 1} < 2$

단계 6.2.3

좌변 $7$ 이 우변 $2$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 6.3

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.3.1

$0 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

$(2) - \frac{8}{2} < 2$

단계 6.3.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $2$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 6.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 6.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 6.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$(6) - \frac{8}{6} < 2$

단계 6.4.3

좌변 $4.\overline{6}$ 이 우변 $2$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 6.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < - 2$ 참

$- 2 < x < 0$ 거짓

$0 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x < - 2$ 또는 $0 < x < 4$

단계 8

부등식을 구간 표기로 표현합니다.

$(- \infty, - 2) \cup (0, 4)$

단계 9