삼각법 예제

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$

단계 1

$f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 을(를) 방정식으로 씁니다.

$y = 2^{x - 1} + 1$

단계 2

변수를 서로 바꿉니다.

$x = 2^{y - 1} + 1$

단계 3

$y$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

$2^{y - 1} + 1 = x$ 로 방정식을 다시 씁니다.

$2^{y - 1} + 1 = x$

단계 3.2

방정식의 양변에서 $1$ 를 뺍니다.

$2^{y - 1} = x - 1$

단계 3.3

지수에서 변수를 제거하기 위하여 방정식의 양변에 자연로그를 취합니다.

$\ln (2^{y - 1}) = \ln (x - 1)$

단계 3.4

$y - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{y - 1})$ 을 전개합니다.

$(y - 1) \ln (2) = \ln (x - 1)$

단계 3.5

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1

$(y - 1) \ln (2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.5.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$y \ln (2) - 1 \ln (2) = \ln (x - 1)$

단계 3.5.1.2

$- 1 \ln (2)$ 을 $- \ln (2)$ 로 바꿔 씁니다.

$y \ln (2) - \ln (2) = \ln (x - 1)$

단계 3.6

로그를 포함하고 있는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

$y \ln (2) - \ln (2) - \ln (x - 1) = 0$

단계 3.7

$y$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.7.1

방정식의 양변에 $\ln (2)$ 를 더합니다.

$y \ln (2) - \ln (x - 1) = \ln (2)$

단계 3.7.2

방정식의 양변에 $\ln (x - 1)$ 를 더합니다.

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$

단계 3.8

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ 의 각 항을 $\ln (2)$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.1

$y \ln (2) = \ln (2) + \ln (x - 1)$ 의 각 항을 $\ln (2)$ 로 나눕니다.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 3.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 3.8.2.1.2

$y$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 3.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.8.3.1.1

공약수로 약분합니다.

$y = \frac{\ln (2)}{\ln (2)} + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 3.8.3.1.2

수식을 다시 씁니다.

$y = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 4

$y$ 에 $f^{- 1} (x)$ 을 대입하여 최종 답을 얻습니다.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$

단계 5

증명하려면 $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 가 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 의 역함수인지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

역함수를 증명하려면 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 인지 확인합니다.

단계 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1

합성함수식을 세웁니다.

$f^{- 1} (f (x))$

단계 5.2.2

$f$ 값을 $f^{- 1}$ 에 대입하여 $f^{- 1} (2^{x - 1} + 1)$ 값을 계산합니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$

단계 5.2.3

$1 + \frac{\ln ((2^{x - 1} + 1) - 1)}{\ln (2)}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.3.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1} + 0)}{\ln (2)}$

단계 5.2.3.2

$2^{x - 1}$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{\ln (2^{x - 1})}{\ln (2)}$

단계 5.2.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.1

$x - 1$ 을 로그 밖으로 내보내서 $\ln (2^{x - 1})$ 을 전개합니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

단계 5.2.4.2

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + \frac{(x - 1) \ln (2)}{\ln (2)}$

단계 5.2.4.2.2

$x - 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = 1 + x - 1$

단계 5.2.5

$1 + x - 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.5.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x + 0$

단계 5.2.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f^{- 1} (2^{x - 1} + 1) = x$

단계 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

합성함수식을 세웁니다.

$f (f^{- 1} (x))$

단계 5.3.2

$f^{- 1}$ 값을 $f$ 에 대입하여 $f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)})$ 값을 계산합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$

단계 5.3.3

$2^{(1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) - 1} + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.3.1

$1$ 에서 $1$ 을 뺍니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{0 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

단계 5.3.3.2

$0$ 를 $\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 에 더합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}} + 1$

단계 5.3.4

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.4.1

밑 변환 규칙 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 을 사용합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = 2^{\log_{2} (x - 1)} + 1$

단계 5.3.4.2

지수와 로그는 역함수 관계입니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x - 1 + 1$

단계 5.3.5

$x - 1 + 1$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.5.1

$- 1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

단계 5.3.5.2

$x$ 를 $0$ 에 더합니다.

$f (1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}) = x$

단계 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ 및 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 이므로, $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$ 은 $f (x) = 2^{x - 1} + 1$ 의 역함수입니다.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x - 1)}{\ln (2)}$