삼각법 예제

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y - 32 = 0$

단계 1

방정식의 양변에 $32$ 를 더합니다.

$3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$

단계 2

$3 x^{2} + 12 x$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 3$

$b = 12$

$c = 0$

단계 2.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 2.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{12}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

$12$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.1

$12$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1.2.1

$2 \cdot 3$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (3)}$

단계 2.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot 3}$

단계 2.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{6}{3}$

단계 2.3.2.2

$6$ 및 $3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.1

$6$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3}$

단계 2.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.2.2.1

$3$ 에서 $3$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)}$

단계 2.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}$

단계 2.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{2}{1}$

단계 2.3.2.2.2.4

$2$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = 2$

단계 2.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{12^{2}}{4 \cdot 3}$

단계 2.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.4.2.1.1

$12$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 3}$

단계 2.4.2.1.2

$4$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{144}{12}$

단계 2.4.2.1.3

$144$ 을 $12$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 12$

단계 2.4.2.1.4

$- 1$ 에 $12$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 12$

단계 2.4.2.2

$0$ 에서 $12$ 을 뺍니다.

$e = - 12$

단계 2.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ 에 대입합니다.

$3 {(x + 2)}^{2} - 12$

단계 3

$3 x^{2} + 12 x$ 를 $3 {(x + 2)}^{2} - 12$ 로 바꿔 방정식 $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ 에 대입합니다.

$3 {(x + 2)}^{2} - 12 + 4 y^{2} - 8 y = 32$

단계 4

양변에 $12$ 을 더하여 $- 12$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 32 + 12$

단계 5

$4 y^{2} - 8 y$ 를 완전제곱식 형태로 만듭니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

$a x^{2} + b x + c$ 형태를 이용해 $a$ , $b$ , $c$ 값을 구합니다.

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

단계 5.2

포물선 방정식의 꼭짓점 형태를 이용합니다.

$a {(x + d)}^{2} + e$

단계 5.3

$d = \frac{b}{2 a}$ 공식을 이용하여 $d$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.1

$a$ 과 $b$ 값을 공식 $d = \frac{b}{2 a}$ 에 대입합니다.

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1

$- 8$ 및 $2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.1

$- 8$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2.1.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.1.2.1

$2 \cdot 4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

단계 5.3.2.1.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

단계 5.3.2.1.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 4}{4}$

단계 5.3.2.2

$- 4$ 및 $4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.1

$- 4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

단계 5.3.2.2.2

공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.2.2.1

$4$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

단계 5.3.2.2.2.2

공약수로 약분합니다.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

단계 5.3.2.2.2.3

수식을 다시 씁니다.

$d = \frac{- 1}{1}$

단계 5.3.2.2.2.4

$- 1$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$d = - 1$

단계 5.4

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 공식을 이용하여 $e$ 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.1

$c$ , $b$ , $a$ 값을 공식 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 에 대입합니다.

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

단계 5.4.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.4.2.1.1

$- 8$ 를 $2$ 승 합니다.

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

단계 5.4.2.1.2

$4$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - \frac{64}{16}$

단계 5.4.2.1.3

$64$ 을 $16$ 로 나눕니다.

$e = 0 - 1 \cdot 4$

단계 5.4.2.1.4

$- 1$ 에 $4$ 을 곱합니다.

$e = 0 - 4$

단계 5.4.2.2

$0$ 에서 $4$ 을 뺍니다.

$e = - 4$

단계 5.5

$a$ , $d$ , $e$ 값을 꼭짓점 형태 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 에 대입합니다.

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

단계 6

$4 y^{2} - 8 y$ 를 $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ 로 바꿔 방정식 $3 x^{2} + 4 y^{2} + 12 x - 8 y = 32$ 에 대입합니다.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 32 + 12$

단계 7

양변에 $4$ 을 더하여 $- 4$ 을 방정식의 우변으로 보냅니다.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 32 + 12 + 4$

단계 8

$32 + 12 + 4$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 8.1

$32$ 를 $12$ 에 더합니다.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 44 + 4$

단계 8.2

$44$ 를 $4$ 에 더합니다.

$3 {(x + 2)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 48$

단계 9

각 항을 $48$ 로 나눠 우변이 1이 되게 합니다.

$\frac{3 {(x + 2)}^{2}}{48} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{48} = \frac{48}{48}$

단계 10

우변을 $1$ 로 만들기 위하여 식의 각 변을 간단히 합니다. 타원 또는 쌍곡선의 표준식의 우변은 $1$ 입니다.

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{12} = 1$