삼각법 예제

$x^{2} - 9 y^{2} = 900$

단계 1

방정식의 양변에서 $x^{2}$ 를 뺍니다.

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$

단계 2

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 9$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$- 9 y^{2} = 900 - x^{2}$ 의 각 항을 $- 9$ 로 나눕니다.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

단계 2.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

$- 9$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{- 9 y^{2}}{- 9} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

단계 2.2.1.2

$y^{2}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$y^{2} = \frac{900}{- 9} + \frac{- x^{2}}{- 9}$

단계 2.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1.1

$900$ 을 $- 9$ 로 나눕니다.

$y^{2} = - 100 + \frac{- x^{2}}{- 9}$

단계 2.3.1.2

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$y^{2} = - 100 + \frac{x^{2}}{9}$

단계 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$

단계 4

$\pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{9}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 100 + \frac{x^{2}}{3^{2}}}$

단계 4.2

$\frac{x^{2}}{3^{2}}$ 을 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 100 + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

단계 4.3

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$100$ 을 $10^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$y = \pm \sqrt{- 10^{2} + {(\frac{x}{3})}^{2}}$

단계 4.3.2

$- 10^{2}$ 와 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 10^{2}}$

단계 4.4

두 항 모두 완전제곱식이므로, 제곱의 차 공식 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 을 이용하여 인수분해합니다. 이 때 $a = \frac{x}{3}$ 이고 $b = 10$ 입니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10) (\frac{x}{3} - 10)}$

단계 4.5

공통 분모를 가지는 분수로 $10$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + 10 \cdot \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

단계 4.6

$10$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{10 \cdot 3}{3}) (\frac{x}{3} - 10)}$

단계 4.7

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 10 \cdot 3}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

단계 4.8

$10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10)}$

단계 4.9

공통 분모를 가지는 분수로 $- 10$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} - 10 \cdot \frac{3}{3})}$

단계 4.10

$- 10$ 와 $\frac{3}{3}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 10 \cdot 3}{3})}$

단계 4.11

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 10 \cdot 3}{3}}$

단계 4.12

$- 10$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 30}{3} \cdot \frac{x - 30}{3}}$

단계 4.13

$\frac{x + 30}{3}$ 에 $\frac{x - 30}{3}$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{3 \cdot 3}}$

단계 4.14

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}}$

단계 4.15

$\frac{(x + 30) (x - 30)}{9}$ 을 ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))$ 로 바꿔 씁니다.

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단계 4.15.1

$(x + 30) (x - 30)$ 에서 완전제곱인 $1^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{9}}$

단계 4.15.2

$9$ 에서 완전제곱인 $3^{2}$ 인수를 묶습니다.

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}}$

단계 4.15.3

분수 $\frac{1^{2} ((x + 30) (x - 30))}{3^{2} \cdot 1}$ 를 다시 정렬합니다.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 30) (x - 30))}$

단계 4.16

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{(x + 30) (x - 30)}$

단계 4.17

$\frac{1}{3}$ 와 $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ 을 묶습니다.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

단계 5

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 5.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

단계 5.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

단계 5.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 30) (x - 30)}}{3}$

단계 6

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{(x + 30) (x - 30)}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$

단계 7

$x$ 에 대해 풉니다.

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단계 7.1

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$x + 30 = 0$

$x - 30 = 0$

단계 7.2

$x + 30$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 7.2.1

$x + 30$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x + 30 = 0$

단계 7.2.2

방정식의 양변에서 $30$ 를 뺍니다.

$x = - 30$

단계 7.3

$x - 30$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $x$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.3.1

$x - 30$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$x - 30 = 0$

단계 7.3.2

방정식의 양변에 $30$ 를 더합니다.

$x = 30$

단계 7.4

$(x + 30) (x - 30) \geq 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$x = - 30, 30$

단계 7.5

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 30$

$- 30 < x < 30$

$x > 30$

단계 7.6

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 7.6.1

$x < - 30$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.1.1

$x < - 30$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 32$

단계 7.6.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 32$ 로 치환합니다.

$((- 32) + 30) ((- 32) - 30) \geq 0$

단계 7.6.1.3

좌변 $124$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.6.2

$- 30 < x < 30$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.2.1

$- 30 < x < 30$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 7.6.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$((0) + 30) ((0) - 30) \geq 0$

단계 7.6.2.3

좌변 $- 900$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 7.6.3

$x > 30$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.6.3.1

$x > 30$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 32$

단계 7.6.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $32$ 로 치환합니다.

$((32) + 30) ((32) - 30) \geq 0$

단계 7.6.3.3

좌변 $124$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 7.6.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 30$ 참

$- 30 < x < 30$ 거짓

$x > 30$ 참

$x < - 30$ 참

$- 30 < x < 30$ 거짓

$x > 30$ 참

단계 7.7

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$x \leq - 30$ 또는 $x \geq 30$

단계 8

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(- \infty, - 30] \cup [30, \infty)$

조건제시법:

${x | x \leq - 30, x \geq 30}$

단계 9

치역은 모든 유효한 $y$ 값의 집합입니다. 그래프를 이용하여 치역을 찾습니다.

구간 표기:

$(- \infty, \infty)$

조건제시법:

${y | y \in ℝ}$

단계 10

정의역과 치역을 구합니다.

정의역: $(- \infty, - 30] \cup [30, \infty), {x | x \leq - 30, x \geq 30}$

치역: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

단계 11