삼각법 예제

$a = 28$ , $c = 32$ , $B = 30$

단계 1

두 변의 길이와 사이각이 주어졌을 때 코사인 법칙을 이용하여 삼각형의 나머지 변의 길이를 구합니다.

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)$

단계 2

식을 풉니다.

$b = \sqrt{a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos (B)}$

단계 3

방정식에 알고 있는 값을 대입합니다.

$b = \sqrt{{(28)}^{2} + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot 32 \cos (30)}$

단계 4

결과를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

$28$ 를 $2$ 승 합니다.

$b = \sqrt{784 + {(32)}^{2} - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

단계 4.2

$32$ 를 $2$ 승 합니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 2 \cdot 28 \cdot (32 \cos (30))}$

단계 4.3

$- 2 \cdot 28 \cdot 32$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

$- 2$ 에 $28$ 을 곱합니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 56 \cdot (32 \cos (30))}$

단계 4.3.2

$- 56$ 에 $32$ 을 곱합니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \cos (30)}$

단계 4.4

$\cos (30)$ 의 정확한 값은 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 입니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 1792 \frac{\sqrt{3}}{2}}$

단계 4.5

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$- 1792$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 (- 896) (\frac{\sqrt{3}}{2})}$

단계 4.5.2

공약수로 약분합니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 + 2 \cdot (- 896 \frac{\sqrt{3}}{2})}$

단계 4.5.3

수식을 다시 씁니다.

$b = \sqrt{784 + 1024 - 896 \sqrt{3}}$

단계 4.6

$784$ 를 $1024$ 에 더합니다.

$b = \sqrt{1808 - 896 \sqrt{3}}$

단계 4.7

$1808 - 896 \sqrt{3}$ 을 $4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.7.1

$1808$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$b = \sqrt{16 (113) - 896 \sqrt{3}}$

단계 4.7.2

$- 896 \sqrt{3}$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$b = \sqrt{16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})}$

단계 4.7.3

$16 (113) + 16 (- 56 \sqrt{3})$ 에서 $16$ 를 인수분해합니다.

$b = \sqrt{16 (113 - 56 \sqrt{3})}$

단계 4.7.4

$16$ 을 $4^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$b = \sqrt{4^{2} (113 - 56 \sqrt{3})}$

단계 4.8

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

단계 5

사인 법칙은 삼각형의 변과 각이 비례함을 바탕으로 합니다. 이 법칙에 따르면 직각이 아닌 삼각형에서 삼각형의 변의 비는 각의 사인값의 비와 같습니다.

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

단계 6

$A$ 을 알아내기 위해 알고 있는 값을 사인 법칙에 대입합니다.

$\frac{\sin (A)}{28} = \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7

$A$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.1

방정식의 양변에 $28$ 을 곱합니다.

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2

방정식의 양변을 간단히 정리합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1

$28$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.1.1.1

공약수로 약분합니다.

$28 \frac{\sin (A)}{28} = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.1.1.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (A) = 28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1

$28 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1

$4$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.1.1

$28$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.1.2

$4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$\sin (A) = 4 (7) \frac{\sin (30)}{4 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

단계 7.2.2.1.1.3

공약수로 약분합니다.

$\sin (A) = 4 \cdot 7 \frac{\sin (30)}{4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.1.4

수식을 다시 씁니다.

$\sin (A) = 7 \frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.2

$7$ 와 $\frac{\sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 을 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sin (30)}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.3

$\sin (30)$ 의 정확한 값은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

$\sin (A) = \frac{7 (\frac{1}{2})}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.4

$7$ 와 $\frac{1}{2}$ 을 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.5

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.6

$\frac{7}{2}$ 에 $\frac{1}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.7

$\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 에 $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}} \cdot \frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.8

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.8.1

$\frac{7}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 에 $\frac{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}$

단계 7.2.2.1.8.2

$\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 를 옮깁니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

단계 7.2.2.1.8.3

$\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}$

단계 7.2.2.1.8.4

$\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 를 $1$ 승 합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 ({\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1} {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1})}$

단계 7.2.2.1.8.5

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{1 + 1}}$

단계 7.2.2.1.8.6

$1$ 를 $1$ 에 더합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}}$

단계 7.2.2.1.8.7

${\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}^{2}$ 을 $113 - 56 \sqrt{3}$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.8.7.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여 $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 을(를) ${(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {({(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

단계 7.2.2.1.8.7.2

멱의 법칙을 적용하여 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

단계 7.2.2.1.8.7.3

$\frac{1}{2}$ 와 $2$ 을 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.2.2.1.8.7.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.8.7.4.1

공약수로 약분합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{\frac{2}{2}}}$

단계 7.2.2.1.8.7.4.2

수식을 다시 씁니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 {(113 - 56 \sqrt{3})}^{1}}$

단계 7.2.2.1.8.7.5

간단히 합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$

단계 7.2.2.1.9

$\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ 에 $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})} \cdot \frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$

단계 7.2.2.1.10

$\frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}}{2 (113 - 56 \sqrt{3})}$ 에 $\frac{113 + 56 \sqrt{3}}{113 + 56 \sqrt{3}}$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3})}$

단계 7.2.2.1.11

식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.2.2.1.11.1

$113 - 56 \sqrt{3}$ 를 옮깁니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 ((113 - 56 \sqrt{3}) (113 + 56 \sqrt{3}))}$

단계 7.2.2.1.11.2

FOIL 계산법을 이용하여 분모를 전개합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 (12769 + 6328 \sqrt{3} - 6328 \sqrt{3} - 3136 {\sqrt{3}}^{2})}$

단계 7.2.2.1.11.3

간단히 합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{2 \cdot 3361}$

단계 7.2.2.1.11.4

$2$ 에 $3361$ 을 곱합니다.

$\sin (A) = \frac{7 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} (113 + 56 \sqrt{3})}{6722}$

단계 7.2.2.1.11.5

$113 + 56 \sqrt{3}$ 와 $\sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$ 을 함께 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{7 ((113 + 56 \sqrt{3}) \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

단계 7.2.2.1.12

분배 법칙을 적용합니다.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3} \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}})}{6722}$

단계 7.2.2.1.13

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{(113 - 56 \sqrt{3}) \cdot 3})}{6722}$

단계 7.2.2.1.14

$113 - 56 \sqrt{3}$ 의 왼쪽으로 $3$ 이동하기

$\sin (A) = \frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722}$

단계 7.3

사인 안의 $A$ 를 꺼내기 위해 방정식 양변에 사인의 역을 취합니다.

$A = \arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$

단계 7.4

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 7.4.1

$\arcsin (\frac{7 (113 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}} + 56 \sqrt{3 (113 - 56 \sqrt{3})})}{6722})$ 의 값을 구합니다.

$A = 61.02830255$

단계 7.5

사인 함수는 제1사분면과 제2사분면에서 양의 값을 가집니다. 두 번째 해를 구하려면 $180$ 에서 기준각을 빼어 제2사분면에 속한 해를 구합니다.

$A = 180 - 61.02830255$

단계 7.6

$180$ 에서 $61.02830255$ 을 뺍니다.

$A = 118.97169744$

단계 7.7

방정식 $A = 61.02830255$ 의 해.

$A = 61.02830255, 118.97169744$

단계 8

삼각형에서 모든 각의 합은 $180$ 도입니다.

$61.02830255 + C + 30 = 180$

단계 9

$C$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.1

$61.02830255$ 를 $30$ 에 더합니다.

$C + 91.02830255 = 180$

단계 9.2

$C$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 9.2.1

방정식의 양변에서 $91.02830255$ 를 뺍니다.

$C = 180 - 91.02830255$

단계 9.2.2

$180$ 에서 $91.02830255$ 을 뺍니다.

$C = 88.97169744$

단계 10

주어진 삼각형의 모든 각과 변에 대한 결과는 다음과 같습니다.

$A = 61.02830255$

$B = 30$

$C = 88.97169744$

$a = 28$

$b = 4 \sqrt{113 - 56 \sqrt{3}}$

$c = 32$