삼각법 예제

$(1, \frac{5}{3})$ ,

$(1, - 8)$

단계 1

Use the dot product formula to find the angle between two vectors.

$θ = \arccos (\frac{a⃗ \cdot b⃗}{| a⃗ | | b⃗ |})$

단계 2

Find the dot product.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

The dot product of two vectors is the sum of the products of the their components.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 \cdot 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

단계 2.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.1

$1$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5}{3} \cdot - 8$

단계 2.2.1.2

$\frac{5}{3} \cdot - 8$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.2.1.2.1

$\frac{5}{3}$ 와

$- 8$ 을 묶습니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{5 \cdot - 8}{3}$

단계 2.2.1.2.2

$5$ 에

$- 8$ 을 곱합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 + \frac{- 40}{3}$

단계 2.2.1.3

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = 1 - \frac{40}{3}$

단계 2.2.2

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3}{3} - \frac{40}{3}$

단계 2.2.3

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{3 - 40}{3}$

단계 2.2.4

$3$ 에서

$40$ 을 뺍니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = \frac{- 37}{3}$

단계 2.2.5

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$a⃗ \cdot b⃗ = - \frac{37}{3}$

단계 3

$a⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| a⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + {(\frac{5}{3})}^{2}}$

단계 3.2.2

$\frac{5}{3}$ 에 곱의 미분 법칙을 적용합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{5^{2}}{3^{2}}}$

단계 3.2.3

$5$ 를

$2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{3^{2}}}$

단계 3.2.4

$3$ 를

$2$ 승 합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{1 + \frac{25}{9}}$

단계 3.2.5

$1$ 을(를) 공통분모가 있는 분수로 표현합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{25}{9}}$

단계 3.2.6

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{9 + 25}{9}}$

단계 3.2.7

$9$ 를

$25$ 에 더합니다.

$| a⃗ | = \sqrt{\frac{34}{9}}$

단계 3.2.8

$\sqrt{\frac{34}{9}}$ 을

$\frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$ 로 바꿔 씁니다.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{9}}$

단계 3.2.9

분모를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.9.1

$9$ 을

$3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{\sqrt{3^{2}}}$

단계 3.2.9.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$| a⃗ | = \frac{\sqrt{34}}{3}$

단계 4

$b⃗$ 의 크기를 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$| b⃗ | = \sqrt{1^{2} + {(- 8)}^{2}}$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

1의 모든 거듭제곱은 1입니다.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + {(- 8)}^{2}}$

단계 4.2.2

$- 8$ 를

$2$ 승 합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{1 + 64}$

단계 4.2.3

$1$ 를

$64$ 에 더합니다.

$| b⃗ | = \sqrt{65}$

단계 5

공식에 값을 대입합니다.

$θ = \arccos (\frac{- \frac{37}{3}}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

단계 6

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.1

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34}}{3} \sqrt{65}})$

단계 6.2

$\frac{\sqrt{34}}{3}$ 와

$\sqrt{65}$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34} \sqrt{65}}{3}})$

단계 6.3

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.3.1

근호의 곱의 미분 법칙을 사용하여 묶습니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{34 \cdot 65}}{3}})$

단계 6.3.2

$34$ 에

$65$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{2210}}{3}})$

단계 6.4

분자에 분모의 역수를 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} (1 \frac{3}{\sqrt{2210}}))$

단계 6.5

$\frac{3}{\sqrt{2210}}$ 에

$1$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

단계 6.6

$3$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.6.1

$- \frac{37}{3}$ 의 마이너스 부호를 분자로 이동합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

단계 6.6.2

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{2210}})$

단계 6.6.3

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- 37 \frac{1}{\sqrt{2210}})$

단계 6.7

$- 37$ 와

$\frac{1}{\sqrt{2210}}$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (\frac{- 37}{\sqrt{2210}})$

단계 6.8

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$θ = \arccos (- \frac{37}{\sqrt{2210}})$

단계 6.9

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ 에

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- (\frac{37}{\sqrt{2210}} \cdot \frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}))$

단계 6.10

분모를 결합하고 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.1

$\frac{37}{\sqrt{2210}}$ 에

$\frac{\sqrt{2210}}{\sqrt{2210}}$ 을 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{\sqrt{2210} \sqrt{2210}})$

단계 6.10.2

$\sqrt{2210}$ 를

$1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} \sqrt{2210}})$

단계 6.10.3

$\sqrt{2210}$ 를

$1$ 승 합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1} {\sqrt{2210}}^{1}})$

단계 6.10.4

지수 법칙

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{1 + 1}})$

단계 6.10.5

$1$ 를

$1$ 에 더합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{\sqrt{2210}}^{2}})$

단계 6.10.6

${\sqrt{2210}}^{2}$ 을

$2210$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ 을(를) 사용하여

$\sqrt{2210}$ 을(를)

$2210^{\frac{1}{2}}$ (으)로 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{{(2210^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

단계 6.10.6.2

멱의 법칙을 적용하여

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 과 같이 지수를 곱합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

단계 6.10.6.3

$\frac{1}{2}$ 와

$2$ 을 묶습니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.10.6.4

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 6.10.6.4.1

공약수로 약분합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{\frac{2}{2}}})$

단계 6.10.6.4.2

수식을 다시 씁니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210^{1}})$

단계 6.10.6.5

지수값을 계산합니다.

$θ = \arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$

단계 6.11

$\arccos (- \frac{37 \sqrt{2210}}{2210})$ 의 값을 구합니다.

$θ = 141.91122711$