삼각법 예제

$h (x) = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$

단계 1

점근선을 구합니다.

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단계 1.1

모든 $y = \sec (x)$ 에 대하여 수직점근선은 $n$ 가 정수일 때 $x = \frac{π}{2} + n π$ 에서 나타납니다. $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ 의 수직점근선을 구하려면 $y = s e c (x)$ 의 기본 주기인 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 를 이용합니다. $y = a \sec (b x + c) + d$ 에서 시컨트 함수 안의 $b x + c$ 가 $- \frac{π}{2}$ 이 되도록 하여 $y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ 의 수직점근선의 위치를 구합니다.

$x - \frac{π}{3} = - \frac{π}{2}$

단계 1.2

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.2.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{3}$ 를 더합니다.

$x = - \frac{π}{2} + \frac{π}{3}$

단계 1.2.2

공통 분모를 가지는 분수로 $- \frac{π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

단계 1.2.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.2.4.1

$\frac{π}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.2.4.3

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 1.2.4.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = - \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

단계 1.2.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{- π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

단계 1.2.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.2.6.1

$3$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$x = \frac{- 3 π + π \cdot 2}{6}$

단계 1.2.6.2

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{- 3 π + 2 \cdot π}{6}$

단계 1.2.6.3

$- 3 π$ 를 $2 π$ 에 더합니다.

$x = \frac{- π}{6}$

단계 1.2.7

마이너스 부호를 분수 앞으로 보냅니다.

$x = - \frac{π}{6}$

단계 1.3

시컨트 함수 안의 $x - \frac{π}{3}$ 가 $\frac{3 π}{2}$ 이 되도록 합니다.

$x - \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

단계 1.4

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 1.4.1

방정식의 양변에 $\frac{π}{3}$ 를 더합니다.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{3}$

단계 1.4.2

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{3 π}{2}$ 을 표현하기 위해 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

단계 1.4.3

공통 분모를 가지는 분수로 $\frac{π}{3}$ 을 표현하기 위해 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.4.4

각 수식에 적절한 인수 $1$ 을 곱하여 수식의 분모가 모두 $6$ 이 되도록 식을 씁니다.

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단계 1.4.4.1

$\frac{3 π}{2}$ 에 $\frac{3}{3}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.4.4.2

$2$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

단계 1.4.4.3

$\frac{π}{3}$ 에 $\frac{2}{2}$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

단계 1.4.4.4

$3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$x = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π \cdot 2}{6}$

단계 1.4.5

공통분모를 가진 분자끼리 묶습니다.

$x = \frac{3 π \cdot 3 + π \cdot 2}{6}$

단계 1.4.6

분자를 간단히 합니다.

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단계 1.4.6.1

$3$ 에 $3$ 을 곱합니다.

$x = \frac{9 π + π \cdot 2}{6}$

단계 1.4.6.2

$π$ 의 왼쪽으로 $2$ 이동하기

$x = \frac{9 π + 2 \cdot π}{6}$

단계 1.4.6.3

$9 π$ 를 $2 π$ 에 더합니다.

$x = \frac{11 π}{6}$

단계 1.5

$y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ 의 기본 주기 구간은 $(- \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6})$ 이며 $- \frac{π}{6}$ 와 $\frac{11 π}{6}$ 는 수직점근선입니다.

$(- \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6})$

단계 1.6

주기 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 구하여 수직점근선의 위치를 찾습니다. 수직점근선은 반주기마다 나타납니다.

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단계 1.6.1

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 1.6.2

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 1.7

$y = 2 \sec (x - \frac{π}{3})$ 의 수직점근선은 $n$ 이 정수일 때 $- \frac{π}{6}$ , $\frac{11 π}{6}$ 과 매 $x = - \frac{π}{6} + π n$ 마다 존재합니다. 이는 주기의 반에 해당합니다.

$x = - \frac{π}{6} + π n$

단계 1.8

시컨트는 수직점근선만을 가집니다.

수평점근선 없음

사선점근선 없음

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{π}{6} + π n$

수평점근선 없음

사선점근선 없음

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{π}{6} + π n$

단계 2

$a \sec (b x - c) + d$ 형태를 이용해 진폭, 주기, 위상 이동, 수직 이동을 구하는 데 사용되는 변수들을 찾습니다.

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{3}$

$d = 0$

단계 3

함수 $s e c$ 의 그래프가 최댓값 혹은 최솟값을 가지지 않으므로 진폭값이 존재하지 않습니다.

진폭: 없음

단계 4

$2 \sec (x - \frac{π}{3})$ 주기를 구합니다.

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단계 4.1

함수의 주기는 $\frac{2 π}{| b |}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

$\frac{2 π}{| b |}$

단계 4.2

주기 공식에서 $b$ 에 $1$ 을 대입합니다.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

단계 4.3

절댓값은 숫자와 0 사이의 거리를 말합니다. $0$ 과 $1$ 사이의 거리는 $1$ 입니다.

$\frac{2 π}{1}$

단계 4.4

$2 π$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 π$

단계 5

$\frac{c}{b}$ 공식을 이용하여 위상차를 구합니다.

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단계 5.1

함수의 위상 이동은 $\frac{c}{b}$ 를 이용하여 구할 수 있습니다.

위상 변이: $\frac{c}{b}$

단계 5.2

$c$ 와 $b$ 의 값을 위상 변이 방정식에 대입합니다.

위상 변이: $\frac{\frac{π}{3}}{1}$

단계 5.3

$\frac{π}{3}$ 을 $1$ 로 나눕니다.

위상 변이: $\frac{π}{3}$

단계 6

삼각함수의 성질을 나열합니다.

진폭: 없음

주기: $2 π$

위상 변이: $\frac{π}{3}$ (오른쪽으로 $\frac{π}{3}$ )

수직 이동: 없음

단계 7

삼각함수의 그래프는 진폭, 주기, 위상 변화, 수직 이동, 점들을 이용하여 그릴 수 있습니다.

수직점근선: $n$ 이 정수일 때 $x = - \frac{π}{6} + π n$

진폭: 없음

주기: $2 π$

위상 변이: $\frac{π}{3}$ (오른쪽으로 $\frac{π}{3}$ )

수직 이동: 없음

단계 8