삼각법 예제

$g (x) = \frac{1}{2^{x - 3}} + 1$

단계 1

식 $\frac{1}{2^{x - 3}} + 1$ 가 정의되지 않는 구간을 찾습니다.

식의 정의역은 식이 정의되지 않는 수를 제외한 모든 실수입니다. 이 경우 식이 정의되지 않도록 하는 실수는 없습니다.

단계 2

수직점근선은 무한 불연속인 영역에서 나타납니다.

수직점근선 없음

단계 3

수평점근선을 구하려면 $lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}}$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1

로피탈 법칙을 적용합니다.

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단계 3.1.1

분자의 극한과 분모의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1.1

분자와 분모에 극한을 취합니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

단계 3.1.1.2

분자의 극한을 구하세요.

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단계 3.1.1.2.1

극한값을 계산합니다.

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단계 3.1.1.2.1.1

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워지는 극한에 대해 극한의 합의 법칙을 적용하여 극한을 나눕니다.

$\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

단계 3.1.1.2.1.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$\frac{1 + lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

단계 3.1.1.2.2

지수 $x - 3$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x - 3}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{1 + \infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

단계 3.1.1.2.3

무한대 더하기 또는 빼기 숫자는 무한대입니다.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x - 3}}$

단계 3.1.1.3

지수 $x - 3$ 이 $\infty$ 에 가까워지기 때문에 수량 $2^{x - 3}$ 가 $\infty$ 에 가까워집니다.

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.1.4

무한대를 무한대로 나눈 값은 정의되지 않습니다.

정의되지 않음

$\frac{\infty}{\infty}$

단계 3.1.2

$\frac{\infty}{\infty}$ 은 부정형이므로, 로피탈의 정리를 적용합니다. 로피탈의 정리에 의하면 함수의 몫의 극한은 도함수의 몫의 극한과 같습니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + 2^{x - 3}}{2^{x - 3}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3

분자와 분모를 미분합니다.

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단계 3.1.3.1

분자와 분모를 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 + 2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.2

합의 법칙에 의해 $1 + 2^{x - 3}$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.3

$1$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $1$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $1$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4

$\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]$ 의 값을 구합니다.

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단계 3.1.3.4.1

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.3.4.1.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.1.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.1.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.2

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.3

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.4

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.5

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.4.6

$2^{x - 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{0 + 2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.5

$0$ 를 $2^{x - 3} \ln (2)$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d x} [2^{x - 3}]}$

단계 3.1.3.6

$f (x) = 2^{x}$ , $g (x) = x - 3$ 일 때 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 는 $f' (g (x)) g' (x)$ 이라는 연쇄 법칙을 이용하여 미분합니다.

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단계 3.1.3.6.1

연쇄법칙을 적용하기 위해 $u$ 를 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d x} [x - 3]}$

단계 3.1.3.6.2

$a$ = $2$ 일 때 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 은 $a^{u} \ln (a)$ 이라는 지수 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{u} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

단계 3.1.3.6.3

$u$ 를 모두 $x - 3$ 로 바꿉니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \frac{d}{d x} [x - 3]}$

단계 3.1.3.7

합의 법칙에 의해 $x - 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 가 됩니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

단계 3.1.3.8

$n = 1$ 일 때 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 는 $n x^{n - 1}$ 이라는 멱의 법칙을 이용하여 미분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

단계 3.1.3.9

$- 3$ 이 $x$ 에 대해 일정하므로, $- 3$ 를 $x$ 에 대해 미분하면 $- 3$ 입니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) (1 + 0)}$

단계 3.1.3.10

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2) \cdot 1}$

단계 3.1.3.11

$2^{x - 3}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

단계 3.1.4

소거합니다.

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단계 3.1.4.1

$2^{x - 3}$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.1.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{2^{x - 3} \ln (2)}{2^{x - 3} \ln (2)}$

단계 3.1.4.1.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

단계 3.1.4.2

$\ln (2)$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1.4.2.1

공약수로 약분합니다.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (2)}{\ln (2)}$

단계 3.1.4.2.2

수식을 다시 씁니다.

$lim_{x \to \infty} 1$

단계 3.2

$x$ 가 $\infty$ 에 가까워질 때 상수값 $1$ 의 극한을 구합니다.

$1$

단계 4

수평점근선 나열:

$y = 1$

단계 5

분자의 차수가 분모의 차수보다 작거나 같으므로 사선점근선이 존재하지 않습니다.

사선점근선 없음

단계 6

모든 점근선의 집합입니다.

수직점근선 없음

수평점근선: $y = 1$

사선점근선 없음

단계 7