삼각법 예제

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 < 0$

단계 1

방정식에 $u = x^{2}$ 를 대입합니다. 이렇게 하면 근의 공식을 쉽게 사용할 수 있습니다.

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

$u = x^{2}$

단계 2

AC 방법을 이용하여 $u^{2} - 10 u + 9$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

$x^{2} + b x + c$ 형태를 이용합니다. 곱이 $c$ 이고 합이 $b$ 인 정수 쌍을 찾습니다. 이 경우 곱은 $9$ 이고 합은 $- 10$ 입니다.

$- 9, - 1$

단계 2.2

이 정수들을 이용하여 인수분해된 형태를 씁니다.

$(u - 9) (u - 1) = 0$

단계 3

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

단계 4

$u - 9$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

$u - 9$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 9 = 0$

단계 4.2

방정식의 양변에 $9$ 를 더합니다.

$u = 9$

단계 5

$u - 1$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $u$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

$u - 1$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$u - 1 = 0$

단계 5.2

방정식의 양변에 $1$ 를 더합니다.

$u = 1$

단계 6

$(u - 9) (u - 1) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$u = 9, 1$

단계 7

풀어진 방정식에 $u = x^{2}$ 에 해당하는 값을 대입합니다.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 8

첫 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

$x^{2} = 9$

단계 9

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

단계 9.2

$\pm \sqrt{9}$ 을 간단히 합니다.

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단계 9.2.1

$9$ 을 $3^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

단계 9.2.2

양의 실수로 가정하여 근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$x = \pm 3$

단계 9.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 9.3.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 3$

단계 9.3.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 3$

단계 9.3.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 3, - 3$

단계 10

두 번째 방정식을 $x$ 에 대해 풉니다.

${(x^{2})}^{1} = 1$

단계 11

$x$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 11.1

괄호를 제거합니다.

$x^{2} = 1$

단계 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

단계 11.3

$1$ 의 거듭제곱근은 $1$ 입니다.

$x = \pm 1$

단계 11.4

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

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단계 11.4.1

먼저, $\pm$ 의 양의 값을 이용하여 첫 번째 해를 구합니다.

$x = 1$

단계 11.4.2

그 다음 $\pm$ 의 마이너스 값을 사용하여 두 번째 해를 구합니다.

$x = - 1$

단계 11.4.3

해의 양수와 음수 부분 모두 최종 해가 됩니다.

$x = 1, - 1$

단계 12

$x^{4} - 10 x^{2} + 9 = 0$ 의 해는 $x = 3, - 3, 1, - 1$ 입니다.

$x = 3, - 3, 1, - 1$

단계 13

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

단계 14

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

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단계 14.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 14.1.1

$x < - 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 6$

단계 14.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 6$ 로 치환합니다.

${(- 6)}^{4} - 10 {(- 6)}^{2} + 9 < 0$

단계 14.1.3

좌변 $945$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.2

$- 3 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 14.2.1

$- 3 < x < - 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = - 2$

단계 14.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $- 2$ 로 치환합니다.

${(- 2)}^{4} - 10 {(- 2)}^{2} + 9 < 0$

단계 14.2.3

좌변 $- 15$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.3

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 14.3.1

$- 1 < x < 1$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 14.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

${(0)}^{4} - 10 {(0)}^{2} + 9 < 0$

단계 14.3.3

좌변 $9$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.4

$1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 14.4.1

$1 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2$

단계 14.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2$ 로 치환합니다.

${(2)}^{4} - 10 {(2)}^{2} + 9 < 0$

단계 14.4.3

좌변 $- 15$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

True

단계 14.5

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

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단계 14.5.1

$x > 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 14.5.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

${(6)}^{4} - 10 {(6)}^{2} + 9 < 0$

단계 14.5.3

좌변 $945$ 이 우변 $0$ 보다 작지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

False

단계 14.6

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

$x < - 3$ 거짓

$- 3 < x < - 1$ 참

$- 1 < x < 1$ 거짓

$1 < x < 3$ 참

$x > 3$ 거짓

단계 15

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$- 3 < x < - 1$ 또는 $1 < x < 3$

단계 16